Las matrices y los determinantes se empezaron a utilizar en épocas antes de Cristo. El término “matriz” fue utilizado por Sylvester.

Por su parte Hamilton, consideró desde el punto de vista de transformaciones lineales y analizó sus propiedades específicas. Cayley sentó las bases definitivas de la teoría de matrices, mediante su exposición formal “ A memorie on the theory of matrices”. Contribuciones posteriores de Gauss, Gibbs, Guissepe Peano, David Hilbert y Banach permitieron pasar del álgebra de matrices al álgebra lineal.

Hoy en día, es considerable ver las matrices, cuya representación se encuentra en hojas electrónicas de trabajo, y/o en aplicaciones laborales para maximizar ganancias y/o minimizar costos mediante la programación lineal, como aplicación de matrices.

En la unidad se presentan generalidades; matrices especiales; operaciones con matricces; inversa de una matriz y determinantes de una matriz.

Objetivo general

Aplicar el álgebra de matrices a la solución de sistemas de ecuaciones, que nacen de la interpretación de datos de un problema dado.

Objetivos específicos

• Interpretar la naturaleza de una matriz y la representación matricial de datos.

• Plantear y solucionar problemas entre matrices.

• Aplicar el álgebra de matrices a la solución de problemas donde intervengan ecuaciones lineales simultáneas.

Una matriz es una ordenación de una serie de datos, que pueden estar representados por cantidades numéricas y/o alfanuméricas, donde dicha organización obedece a filas y columnas.

Toda matriz se representa por un tamaño que corresponde al número de filas que posea por el número de columnas que posea. A continuación observe las matrices B y C.

Nótese que la matriz B posee 3 filas y 3 columnas, o sea, es de orden 3x3, mientras la matriz C tiene 4 filas y 2 columnas; es decir es de orden 4x2.

Es indispensable, que revise los arreglos rectangulares de números dando clic aquí.

Las matrices A = [aij] y B = [bij] son iguales si y sólo si tiene el mismo orden y aij= bij para cada i y cada j (esto es entradas correspondientes son iguales).

Por tanto:

Pero,

Una ecuación matricial puede definir un sistema de ecuaciones. Por ejemplo:

Igualando las entradas correspondientes se encuentra:

Resolviendo el sistema anterior se tiene:

Como aporte al tema, es pertinente que observe la trayectoria de Carl Friedrich Gauss.

Se llama matriz transpuesta de la matriz A de orden m x n y se representa por A^T de orden x m que se obtiene cambiando las filas por las columnas.

Si:

Ejemplo:

La operación empleada para determinar la transpuesta de una matriz se llama transposición. La transposición de matrices presenta la siguiente propiedad:

(A^T) ^T = A: La transpuesta de la transpuesta es la matriz inicial.

Entre las matrices, existen algunas que reciben el nombre de especiales, las más importantes son:

• Matriz cero: es una matriz de m x n cuyas entradas son todas iguales a cero y se denota por 0.

• Matriz cuadrada: es una matriz que tiene el mismo número de columnas y de renglones, esto es una matriz m x n. Es cuadrada si y sólo si m = n.

• Diagonal principal: en una matriz cuadrada de orden n, las entradas que están sobre la diagonal principal que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, son llamadas entradas de la diagonal principal ó diagonal principal.

• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en donde todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero; esto es a_ij ≠ 0 para i=j.

• Matriz triangular superior: una matriz es triangular superior si todas las entradas debajo de la diagonal principal son cero.

• Matriz triangular inferior: una matriz es triangular inferior si todas las entradas arriba de la diagonal principal son cero.

• Matriz idéntica: es una matriz cuadrada, en donde los elementos de la diagonal son 1 y el resto 0.

Así como en los números reales se encuentran operaciones entre elementos del conjunto; en las matrices también se encuentran operaciones de igualdad, adición, sustracción, producto de matrices, producto por escalar, multiplicación, transpuesta de un producto, potencia matricial e inversa de una matriz.

Suma y resta de matrices

Solo se pueden sumar dos matrices si tienen el mismo orden m x n. Dadas dos matrices de orden m x n.

Cada elemento de la suma se obtiene, sumando los elementos de las matrices sumadas que están en la misma posición.Ver ejemplos.

Multiplicación de una matriz

Dos matrices sólo son multiplicables si el número de columnas del primer factor es igual al número de filas del segundo factor. Esto es sí son de ordenes m x n el primer factor y n x p cuyo elemento genérico cij se obtiene sumando los productos de todos los elementos de la fila de la segunda. Haga clic aquí para ver los ejemplos.

Propiedad de un escalar por un producto de matrices

Sí A es una matriz de orden m x n y K es un número real (llamado escalar), entonces con KA denotamos a la matriz m x n obtenida de multiplicar cada entrada de A por K. La operación es llamada multiplicación por un escalar, y KA es llamada múltiplo escalar de A. Para completar la información, por favor haga clic aquí.

Si A es una y P es un entero positivo, entonces la P-ésima potencia de A es el producto matricial de A, P veces. Esto es:

Para complementar esta información, vea este enlace y observe el ejemplo.

Ecuaciones matriciales

Tiene la forma AX = B, donde A es la matriz obtenida de los coeficientes de las variables, X es una matriz columna constituida por las variables, y B es una matriz columna obtenida de las constantes. La matriz A es llamada matriz de coeficientes del sistema. (Ver el ejemplo)

Transpuesta de una matriz

La matriz transpuesta de una Matriz A de orden nxp, es una matriz que consiste en organizar las columnas como filas y las filas como columnas respectivamente, cuya notación es A^T, y es de orden pxn. (Vea el ejemplo)

Una matriz invertible, sólo tiene una inversa, es decir la inversa es única. Si B es la inversa de A entonces se puede denotar como B = A^-1 de tal manera que:

A*A^-1=A^*1A=I

Una matriz cuadrada que no tiene inversa se llama no invertible o singular. (Ir a ejemplos)

Se dice que la matriz A de n x n es invertible o no singular, si existe una matriz B llamada la inversa de A:

Obsérvese que B debe ser del orden n x n.

La inversa de una matriz cumple las siguientes propiedades:

• El producto de dos matrices inversas es invertible. Su inversa es el producto de las inversas de los factores en orden inverso. Así si A y B son matrices n x n invertibles, también A·B lo será, y:

(A*B)^-1 = B^-1*A^-1

• La inversa de una matriz invertible también es invertible. Su inversa es la matriz original. Por consiguiente si A es invertible, también lo es A^-1.

(A^-1)^-1 = A

• Cualquier producto de un escalar distinto de cero por una matriz invertible es invertible. Su inversa es el producto del reciproco del escalar por la inversa de la matriz. Por consiguiente, si A es invertible y C es un escalar distinto de cero entonces, CA es invertible y:

(CA)^-1= 1/C A^-1

Es importante conocer el método de Gauss para transformar matrices. Recuerden que el príncipe de los matemáticos como fue denominado Gauss, hizo importantes avances en las ciencias de las matemáticas.

Los determinantes son una función que asigna a cada matriz un número real. Los determinantes son uno de los temas más útiles del álgebra lineal, con muchas aplicaciones en administración para solucionar sistemas de ecuaciones y aplicación en programación lineal para optimizar ganancias o minimizar pérdidas.

Dirichlet dijo que los determinantes fueron introducidos por Leibniz, en una carta a L'Hopital fechada el 28 de abril de 1963. También hay pruebas de que SekiTakakazu, matemático japonés, ya los usaba en 1683. Los principales contribuyentes en esta área han sido Laplace, Cauchy, Jacobi, Bezout, Sylvester y Cayley.

Sin embargo, Newton para explicar la función determinante en 1707 planteó el problema de las vacas y los campos.

Para el cálculo de un determinante el método más general es el de los cofactores.

También se encuentran otros métodos, como el de triangulación, que consiste en reducir el determinante como si fuese una matriz triangular superior o inferior y el producto de los elementos de la diagonal son el determinante, en este método son utilizadas las propiedades de los determinantes.

En la unidad, se presentaron temas muy interesantes acerca de las matrices. A continuación, se hace una lista de los temas tratados a modo de resumen:

• Las matrices y los determinantes se empezaron a utilizar en épocas antes de Cristo.

• La matriz está compuesta por filas que se toman en forma horizontal y columnas que se componen en forma vertical. Toda matriz se representa por un tamaño que corresponde al número de filas que posea por el número de columnas que posea.

• Si la matriz B posee 3 filas y 3 columnas, es de orden 3x3, mientras si la matriz C tiene 4 filas y 2 columnas es de orden 4x2.

• La suma y resta entre matrices es sencilla, se debe tener en cuenta que las matrices deben ser de las mismas dimensiones y la operación se aplica sumando o restando miembro a miembro respectivamente.

• Para multiplicar dos matrices A y B, téngase en cuenta que si A tiene n filas y m columnas su orden es nxm, si B tiene m filas y k columnas es de orden mxk.

• Para transponer matrices se debe reescribir la matriz copiando las columnas como filas.

• Una matriz A posee inversa si y solamente si es cuadrada y el producto de su inversa por A es la matriz idéntica. Existen diferentes métodos para hallar la inversa.

• La matriz está encerrada entre dos paréntesis, llaves y/o corchetes, en un medio de trabajo real son la base de datos u organización de información con la que se cuenta a diario, mientras los determinantes están encerrados entre dos barras parecidas a las de valor absoluto y son una función de la matriz que representa un valor numérico de la misma.

• Para calcular un determinante por el método de cofactores, se selecciona el cofactor o coeficiente de la matriz que se ubica a manera de pivote sin incluir la fila y columna que se intersecan en este elemento, para organizar el determinante a calcular.