El límite funcional es un concepto muy estudiado en la educación superior y el cual detalla la tendencia de una función a medida que la variable independiente se acerca a un determinado valor. Este concepto marca el inicio del análisis diferencial e integral, pues se utiliza para definir otros conceptos fundamentales del análisis real como convergencia, continuidad, derivación e integración.

En esta unidad se explicará el concepto de límite y sus propiedades, con el fin de que el estudiante desarrolle las habilidades necesarias para calcular el límite de una función real en un punto dado.

Objetivo general

Desarrollar habilidades en el cálculo de límites para establecer si una función es continua o discontinua.

Objetivos específicos

• Reconocer las propiedades de los límites.
• Aplicar propiedades para encontrar el límite de una función.
• Calcular límites indeterminados de la forma «cero sobre cero».
• Determinar si una función es continua en un punto dado.

El concepto de límite es utilizado en cálculo infinitesimal para especificar la tendencia de una función a medida que los valores de x se acercan a un valor determinado. Este concepto adquiere importancia cuando se requiere estudiar la continuidad de una función, calcular derivadas, solucionar integrales o estudiar la convergencia de una serie.

En el cálculo de límites es posible hacer uso de tres métodos: el gráfico, el numérico y el algebraico. Este último es el más usado y puede aplicarse de manera exitosa en el cálculo de límites y en el estudio de las funciones elementales: polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, entre otras. Para realizar este tipo de cálculos es necesario conocer las propiedades de los límites y algunos métodos de factorización, y contar con destrezas en procedimientos algebraicos y trigonométricos.

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para conocer las siete propiedades de los límites

En esta unidad se abordarán los límites de funciones reales; es decir, funciones definidas en un conjunto A, contenido en el conjunto de los números reales.

Material de apoyo

En los límites estudiados anteriormente, o bilaterales, se tenían en cuenta dos caminos para acercarse al valor que indica el límite:

Es decir que habían valores por la derecha (para x>a) y valores por la izquierda (para x<a). Ahora estudiaremos límites que únicamente tienen sentido por la izquierda o por la derecha, por ejemplo la función:

Que está definida en las x≤2. En este caso, el límite unilateral se presenta cuando x se acerca a dos por la izquierda; es decir, con valores menores que dos (x<2).

Se lee como «límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de…».

Algunas funciones presentan diferentes comportamientos al acercarse a un punto determinado, por ejemplo, es posible encontrar que una función tienda a tomar valores diferentes cuando el acercamiento se hace por la derecha, que cuando se hace por la izquierda. Normalmente esto ocurre en funciones que están definidas por secciones y su gráfica muestra un salto en algún punto.

Este comportamiento de la función exige definir los límites unilaterales por la izquierda y por la derecha. Entonces, si f(x) es una función que tiene límite en x=a, implica que tanto por izquierda como por derecha f(x) tiende a tomar el mismo valor. Además, si en x=a los límites unilaterales no tienden al mismo valor, se afirma que el límite de f(x) en este punto no existe y que la gráfica es discontinua en x=a.

Para calcular el límite cuando x→a de una función polinomial o racional, se sustituye el valor x=a en f, teniendo en cuenta que en las funciones racionales el denominador debe ser diferente a cero para que la operación esté definida en los números reales. Esto se escribe:

Este resultado también muestra que el límite de una función es un número real único.

En esta sección se abordará el caso en el que la variable tiende a un número, pero la función tiende al infinito, es decir que el límite no existe:

Para entender esta situación, analice la función definida por:

Al observar la gráfica de la derecha se puede ver que a medida que x toma valores cercanos a cero por la derecha, la función f toma valores positivos cada vez mayores. Con base en lo anterior, se puede afirmar que:

Por otra parte, si x tiende a cero por la izquierda, la función tomará valores cada vez mayores, pero negativos, por lo cual es posible afirmar que:

Haga clic sobre el enlace para ver varios ejemplos del cálculo de límites infinitos.

Límites al infinito

Al calcular límites infinitos surge la pregunta ¿cuál es el límite de una función cuando x tiende a valores positivos o negativos cada vez mayores?, es decir, cuando x→+∞ o cuando x→-∞. Este tipo de límites se llaman límites al infinito. Haga clic sobre los enlaces para acceder a un documento en el que se explica de manera amplia este concepto y a una interactividad en la que se presentan tres ejemplos.

Actividad de aprendizaje

Antes de estudiar el concepto de continuidad, se sugiere calcular los siguientes límites.

Una función continua en un punto es aquella que no presenta saltos, es decir que se puede dibujar sin interrumpir el trazo o sin alzar el lápiz del papel.

La mayoría de las funciones son continuas en casi todos sus puntos, pero existen puntos de discontinuidad que son aquellos en los que no está definida la función o en los que esta se define de manera diferente.

En matemáticas, la definición de continuidad establece que una función f es continua en x=a si se cumplen tres condiciones:

1. existe.

2. existe.

3. .

Si una función no cumple alguna de estas tres condiciones se dice entonces que dicha función es discontinua en a y que este es un punto de discontinuidad.

Una vez expuestas las propiedades de las funciones continuas, resulta importante demostrarlas. Para este fin se demostrará la primera propiedad y, a manera de actividad de aprendizaje, se le sugiere demostrar las otras cuatro.

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para acceder a la actividad

Material de apoyo

En esta unidad se estudió el concepto de límite funcional y sus propiedades. Se presentaron ejercicios y se sugirieron lecturas con el propósito de complementar los conocimientos y desarrollar las competencias necesarias para calcular límites.

Igualmente, se demostró mediante el desarrollo de los temas, la resolución de los ejercicios y la definición del concepto de continuidad, que el concepto de límite es el fundamento de la continuidad.

Tras estudiar los contenidos de esta unidad, se espera que el estudiante conozca y sepa aplicar el concepto de límite y cuente con las competencias necesarias para calcular límites y determinar si una función es continua en un punto dado.