Límites y sus propiedades

Al graficar la función se puede observar que cuando x se acerca a dos, sin llegar a ser dos, los valores de la función se acercan a cuatro. Tal situación se muestra a continuación:

Figura 1. Gráfica de la función

Como se puede ver, cuando x se acerca a dos con valores menores que dos, la función se acerca a cuatro; lo mismo sucede cuando x se acerca a dos con valores mayores que dos. Observe que la función nunca toma el valor dos, ya que el numerador y el denominador serían cero y, por lo tanto, la función no estaría definida. En este caso se puede decir que dos no pertenece al dominio.

Teorema

Si x se aproxima a un valor dado a, y f(x) se acerca a un número real L, se dice entonces que L es el límite de la función y=f(x) cuando x tiende a a, y se escribe:

Si el número L no existe, se dice entonces que el límite no existe.

Se debe tener en cuenta que a puede o no estar en el dominio de f, puesto que x nunca va a tomar el valor de a.

Propiedades de los límites

1. El límite de una constante es la misma constante.
2. El límite de una potencia es la potencia del límite.
3. El límite de una suma o resta de funciones es la suma o resta de los límites de las funciones.
4. El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de las funciones.
5. El límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites de las funciones.
6. El límite del producto de una constante por una función es el producto de la constante por el límite de la función.
7. Si el límite de una función existe, este límite es único.

Antes de calcular límites es importante recordar que el límite es único y es un número real. Así mismo, se debe tener en cuenta que si se aplican las propiedades para hallar un límite y no es posible encontrarlo, se establece una indeterminación, en cuyo caso se debe realizar un cambio equivalente de la función original para aplicar nuevamente las propiedades y finalmente encontrar el límite buscado.

Ejemplo