Ejemplos de la aplicación del concepto de continuidad


Ejemplo 1

Demostrar que , es continua en .

Para demostrar esto, se deben verificar las tres condiciones para que una función sea continua en un punto.

Condición 1

Por lo tanto existe. Si no existiera, la función sería discontinua y terminaría el análisis.

Condición 2

Entonces:

Es decir que sí existe.

Condición 3

Se evidencia que la condición 1 y la condición 2 son iguales.

Por lo tanto la función es continua en .

Ejemplo 2

Analizar la continuidad de la siguiente función, definida a trozos o a pedazos, en el punto :

Para comenzar, se deben aplicar las condiciones de la definición de continuidad.

Condición 1

,de acuerdo con la segunda condición de la función.

Condición 2

,se debe calcular el límite por la izquierda y por la derecha.

Por la izquierda Por la derecha

, por cumplir la primera condición, que indica los valores por la izquierda de dos, es decir, valores menores que dos.

, reemplazando.

, resolviendo.

,por cumplir con la tercera condición, que indica los valores por la derecha de dos, es decir, valores mayores que dos.

, reemplazando.

, resolviendo.

Por lo tanto, sí existe, pues los resultados son iguales por la izquierda y por la derecha.

Condición 3

, por lo tanto la función es discontinua en x=2.

Aunque este ejercicio se resolvió sin graficar la función, el siguiente ejemplo tendrá una gráfica para demostrar la importancia de graficar.

Ejemplo 3

Analizar la continuidad de la siguiente función, definida a trozos o por secciones, en el punto x=2.

La gráfica correspondiente a esta función se obtiene dando valores a x que cumplan con la primera condición, o sea valores entre -∞ y 2. Esto arroja la línea recta .

El segundo trozo o sección se obtiene dando a x el único valor que debe cumplir: x=2, lo cual arroja un punto en el que la función vale uno. Esto da como resultado:

Figura 1.

Tras graficar, se aplican las condiciones para verificar la continuidad.

Condición 1

, reemplazando.

Condición 2

,se debe calcular el límite por la izquierda y por la derecha.

Por la izquierda Por la derecha

, por cumplir la primera condición de la función, que indica los valores por la izquierda de dos, es decir, valores menores que dos.

, reemplazando.

, resolviendo.

, por cumplir la tercera condición de la función, que indica los valores por la derecha de dos, es decir, valores mayores que dos.

, reemplazando.

, resolviendo.

Por lo tanto, sí existe, pues los resultados son iguales por la izquierda y por la derecha.

Condición 3

, por lo tanto la función es discontinua en x=2.

Ejemplo 4

Encuentre los puntos de discontinuidad de la siguiente función:

Las expresiones y 1 que conforman la función son polinomios, por lo tanto son continuas de acuerdo con la cuarta propiedad de las funciones continuas. El otro valor a estudiar es , en el que puede haber separaciones entre las gráficas, generando discontinuidad.

Al aplicar las condiciones de la continuidad se obtiene:

1 2

, reemplazando.

, resolviendo.

El límite no existe, por lo tanto la función f es discontinua en x=-1.

Ejemplo 5

Encontrar los puntos de discontinuidad de la siguiente función racional:

En el denominador se tiene que x+4=0 cuando x=-4, por lo tanto la función es discontinua en 4.