La solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones —sin importar si son polinómicas, algebraicas, etc.— es un problema usual que se ha trabajado a lo largo de la historia en los diferentes campos del saber.

Cabe anotar que no existen métodos generales para la resolución analítica de ecuaciones, salvo para algunas de tipo lineal o polinómico, y es por esta razón que en esta unidad se trabajarán algunos métodos que permiten solucionar, al menos de manera aproximada, diferentes tipos de ecuaciones.

Para tal fin se expondrán conceptos y se usarán algunas herramientas tecnológicas que le permitan entender de manera más sencilla los conceptos a trabajar.

Propósito general

Reconocer los métodos de aproximación a soluciones de ecuaciones.

Propósitos específicos

• Seleccionar el método más apropiado para encontrar los ceros de una función.
• Aproximar la solución de una ecuación considerando cierto margen de error.
• Estudiar la convergencia de los métodos con el fin de seleccionar el más apropiado.

El método más sencillo para calcular el valor de una raíz para una función f(x) es el método gráfico, el cual consiste en identificar visualmente en qué valor de x, f(x) corta al eje de las abscisas.

Evidentemente este método tiene un margen de error muy amplio, pues la observación no es precisamente la mejor forma identificar una raíz.

En los gráficos que aparecen en pantalla se ejemplifica la aproximación de la raíz de la siguiente función por el método gráfico.

Este método consiste en localizar un intervalo en el que la función cambie de signo. Así, si se divide el intervalo inicial en otros subintervalos y se evalúa cada uno de estos para saber en cuál la función cambia de signo, se obtiene una nueva iteración.

Si se sigue realizando este proceso la aproximación de la raíz será cada vez más exacta por la longitud de los intervalos que se van obteniendo.

Pasos del método

Haga clic sobre el enlace para conocer los pasos a seguir para realizar la aproximación a la raíz de f.

Para finalizar el estudio de este tema se sugiere revisar el aplicativo que aparece en pantalla, el cual le permitirá ingresar un intervalo y obtener una retroalimentación. De igual manera, le mostrará la gráfica de la función y cómo el método se va a aproximando cada vez más a su raíz.

Debido a que los métodos abiertos emplean una fórmula para estimar la raíz, el método de punto fijo consiste en transformar una función f(x)=0 en otra en la que el valor de x quede al lado izquierdo de la igualdad, es decir:

Esta transformación solamente se hace realizando operaciones matemáticas, pero si es difícil despejar dicho valor basta con sumar x en ambos términos de la igualdad.

Pero, ¿cuál es el fin de reescribir una función en estos términos? Esta forma de trabajar permite predecir un término a partir de otro inicial. Es decir que si se toma un valor inicial x_i para la raíz, a partir de dicho valor es posible estimar otro valor x_i+1 y así realizar dicho proceso de manera recursiva, es decir:

Y de la misma manera que en casos anteriores, el error aproximado se puede calcular haciendo uso del error relativo porcentual:

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para acceder a una actividad que le permitirá poner en práctica algunos conceptos básicos estudiados hasta este punto.

Posiblemente la fórmula más conocida y utilizada para estimar la raíz de una función es la de Newton-Raphson.

El método de Newton-Raphson toma elementos del cálculo diferencial para permitir una aproximación precisa a la raíz de una función. Por ejemplo, suponga que tiene un valor inicial x_i que es una primera aproximación a la raíz de f. Si traza una recta tangente a f en el punto (x_i, f(x_i )), dicha recta cortará al eje x en algún punto nuevo x_i+1, como se ve en la figura «Método gráfico de Newton-Raphson».

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo de aplicación de este método.

Actividad de aprendizaje

A partir de los conceptos aprendidos hasta este punto responda a la pregunta que se pleantea en la siguiente actividad. Haga clic sobre el enlace para acceder al ejercicio.

Material de apoyo

En esta unidad se ofreció un acercamiento a las formas no convencionales para resolver ecuaciones. Para tal fin se expusieron cuatro métodos numéricos, dos de ellos cerrados y dos abiertos.

El primer método visto fue el gráfico que es uno de los más sencillos, pues permite identificar visualmente en qué valor de x, f(x) corta al eje de las abscisas. Algunos de estos métodos parten de información como un intervalo, en el cual es posible encerrar la raíz que se pretende calcular. En tal sentido, el método de bisección consiste en hallar el punto medio del intervalo y así encontrar un nuevo posible valor para la raíz. Si este no coincide, entonces se realiza de nuevo el proceso, pero partiendo de este nuevo punto

Los métodos abiertos, por su parte, no necesariamente se hallan a partir de dos valores, sino de uno solo. Estos métodos son el de punto fijo y el de Newton-Raphson, los cuales consisten en partir de un valor inicial y realizar una serie de pasos con el fin de converger en el posible valor real.

El método de punto fijo parte de la redefinición de la ecuación en términos de igualar dos nuevas subfunciones obtenidas de la inicial, y a partir de un valor se obtiene el siguiente hasta que los dos sean lo suficientemente cercanos como para saber que el error es mínimo.

Finalmente, el método de Newton-Raphson se dota de elementos del cálculo diferencial y hace uso de la derivada de la función para estimar un posible valor de la raíz, partiendo de uno inicial.