Ejemplo de aplicación

Estime el valor de la raíz de la función f\left( x \right)={{e}^{-x}}-x usando el método de punto fijo.

Solución

Para comenzar se debe aplicar el primer paso, poniendo la x en el lado izquierdo de la igualdad:

x={{e}^{-x}}

Y se reescriben los términos a estimar de la siguiente manera:

{{x}_{i+1}}={{e}^{-{{x}_{i}}}}~

Entonces los términos serán:

i xi xi+1
0 0 1
1 1 0.36787944
2 0.36787944 0.69220063
3 0.69220063 0.5004735
4 0.5004735 0.60624354
5 0.60624354 0.54539579
6 0.54539579 0.57961234
7 0.57961234 0.56011546
8 0.56011546 0.57114312
9 0.57114312 0.56487935
10 0.56487935 0.56842873

Ahora se calcula el error en la décima iteración usando el error relativo porcentual:

{{\epsilon }_{10}}=\left| \frac{0.56842873-0.56487935}{0.56842873} \right|=0.0062441

Y al multiplicar por el 100 % se obtiene que el error es de 0.62441 % en la décima iteración.

Método gráfico de punto fijo

Este método permite llegar a otro posible método gráfico en el cual, se puede tomar a x=g(x) como la igualación de dos funciones, es decir:

x={{f}_{1}}\left( x \right)

g\left( x \right)={{f}_{2}}\left( x \right)

O

x={{y}_{1}}

g\left( x \right)={{y}_{2}}

Para este caso, se tiene:

x={{f}_{1}}\left( x \right)

{{e}^{-x}}={{f}_{2}}\left( x \right)

O

x={{y}_{1}}

{{e}^{-x}}={{y}_{2}}

Para finalizar se debe hacer el siguiente ejercicio gráfico:

  1. Graficar ambas funciones.
  2. Señalar el punto en el que se cortan.
  3. Trazar una recta paralela al eje y que pase por dicho punto y extenderla hasta el eje x.

El punto donde la recta trazada corta al eje x será la raíz, tal como se muestra en la figura «Método gráfico de punto fijo».