En el estudio de las funciones analíticas, la integral compleja resulta esencial para demostrar que la analiticidad en un determinado dominio implica necesariamente que todas las derivadas superiores existen en un contorno perteneciente a dicho dominio.

La integral de una función compleja continua sobre una curva del plano se define presentando su relación con las integrales de línea del cálculo real. En tal sentido, uno de los resultados más importantes que se tratará en esta unidad es el teorema de la integral de Cauchy, el cual trae consigo la fórmula de la integral de Cauchy.

A lo largo de esta unidad también se examinarán las series complejas y sus semejanzas con respecto de las series del cálculo real. Se profundizará en el estudio de las series de potencias y cómo estas pueden realizar una representación de funciones analíticas y viceversa. Por último, se analizarán las series de Taylor y de Laurent.

Propósito general

Entender el proceso de integración compleja y el uso de las series de potencias con el fin de analizar el comportamiento y las propiedades de las funciones analíticas.

Propósitos específicos

• Comprender el uso del teorema de la integral de Cauchy y su importancia en el estudio de la integración compleja.
• Analizar las características de las series de potencias para realizar representaciones de funciones analíticas en el plano complejo.
• Entender el uso de las series de Laurent para representar funciones que poseen por lo menos una singularidad.

Para abordar esta unidad resulta importante conocer la definición de las funciones analíticas, sus límites y su diferenciabilidad. Continuando con el estudio de estas funciones se presentará la integración en el plano complejo, la cual es útil para resolver determinados problemas que se presentan en aplicaciones relacionadas con la ingeniería.

En algunas aplicaciones, a diferencia de lo que se cree, resulta más sencillo utilizar métodos de integración compleja que métodos de integración real para llegar a la solución de un determinado problema. Además, la integración de funciones complejas nos permitirá entender y demostrar otras propiedades de las funciones analíticas; por ejemplo, la existencia de derivadas superiores para las funciones analíticas.

La integración compleja se ha utilizado en diversas áreas de la ingeniería, como la teoría del campo electromagnético, la dinámica de fluidos, la aerodinámica y la elasticidad. Con el rápido desarrollo de la tecnología informática y el consecuente uso de algoritmos sofisticados, en los últimos años se han hecho comparaciones entre el uso de técnicas de variable compleja y técnicas numéricas aplicadas directamente al modelo de ecuaciones diferenciales de la situación.

Al igual que en el cálculo real, la integración compleja posee antiderivadas o integrales definidas e indefinidas. Es importante recordar que una integral definida es una función cuya derivada es igual a una función analítica dada en una región y una manera sencilla para encontrar varios tipos de integrales definidas es invirtiendo las formulas ya conocidas de diferenciación.

Resulta necesario considerar algunos aspectos relacionados con las curvas sobre el plano complejo para lograr definir las integrales definidas o integrales de línea de funciones complejas f(z). Recuerde que en el cálculo real, una integral definida se integra sobre un intervalo de la recta real, mientras que la integral definida compleja debe integrarse utilizando una trayectoria de integración, la cual es una curva C —o un segmento de ella— en el plano complejo. Haga clic sobre el enlace para ver la forma en que se representa la curva C.

Integral de línea compleja

En cada uno de los segmentos en los que se divide la curva C, se elige un punto arbitrario como ζ_m; entre los puntos z₀ y z₁ se encuentra el punto ζ₁, entre z₁ y z₂ se ubica el punto ζ₂ y así sucesivamente, lo cual permite escribir la sumatoria, tal como lo expone Acevedo (2016):

con

El límite de la sucesión de los números complejos S₂, S₃, S₄…, es llamado integral de línea de la función compleja f(z) sobre la trayectoria de integración y se escribe como:

En una función compleja f(z), la evaluación de una integral de línea presenta una dependencia de la elección de la trayectoria de integración, lo cual puede generar dificultades. Por lo tanto, se plantea el teorema de la integral de Cauchy en el cual se evitan las descritas situaciones de dependencia.

De acuerdo con las definiciones que se exponen en los gráficos que aparecen en pantalla, el teorema de la integral de Cauchy se enuncia así:

Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces para toda trayectoria simple cerrada C en D se cumple que:

Ahora haga clic sobre el enlace para revisar algunos ejemplos de aplicación del teorema de la integral de Cauchy.

Un segundo teorema relacionado con la independencia respecto de la trayectoria, dicta lo siguiente:

Como se explicó anteriormente, resulta conveniente evitar, de ser posible, situaciones en las que haya dependencia de la trayectoria de integración debido a que pueden resultar inconvenientes. La integral de la función f(z) es llamada independiente de la trayectoria si su valor solo depende de dos puntos tomados en el plano complejo (z₁ y z₂), mas no de la trayectoria C que los relaciona en un dominio D.

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo de la aplicación de este teorema.

El teorema de la integral de Cauchy puede ser aplicado para determinar la existencia de una integral indefinida F(z) de una función f(z) que sea analítica, lo cual permite evaluar integrales de línea mediante integración indefinida y la sustitución de los límites de integración. Es decir que:

En la cual se debe cumplir que F'(z)=f(z). Por ejemplo, al evaluar la integral:

Se obtiene:

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para acceder a una actividad de emparejamiento que le permitirá reforzar sus conocimientos sobre el cálculo de integrales complejas.

Para dar inicio a este nuevo tema, se presenta una actividad de aprendizaje que le permitirá tener una primera aproximación a la herramienta Wolfram Alpha, la cual le permitirá realizar cálculos como los que se exponen en esta unidad.

Posteriormente se recordarán algunos conceptos básicos sobre las series reales para permitir un análisis más profundo de las series de potencias, las cuales resultan fundamentales en la aplicación de las matemáticas complejas.

Las series complejas le permitirán realizar nuevas representaciones de las funciones analíticas que se han estudiado durante esta unidad, definiendo las series de Taylor de una manera similar a la del cálculo real.

Para obtener las series de Taylor se abordarán algunos métodos prácticos y además se estudiará la convergencia de este tipo de series.

En este subtema se exponen algunas definiciones básicas que han sido tratadas en el cálculo real y que se deben tener presentes para estudiar las series de potencias. Haga clic sobre cada uno de los enlaces para acceder a la información:

• Sucesiones.
• Series.
• Criterios de convergencia.
• Ejemplos.

Entre los diferentes tipos de potencias que existen, las series de potencias son uno de los más importantes para el estudio del cálculo complejo. Una serie de potencias de z-z₀ se escribe como:

Donde los términos a₀, a₁, a₂…, son denominados coeficientes de la serie, z es una variable y z₀ es una constante que representa el centro de la serie. Cuando el centro de la serie es igual a cero se puede reescribir la serie de potencias de z de la siguiente forma:

La convergencia de este tipo de series se da generalmente para un valor de z a lo largo de toda una región y diverge para otro valor de z. La región de convergencia puede ser todo un disco en el plano complejo o solo el centro de dicho disco (Glyn, 2002). En términos generales, la región sobre la cual converge la serie puede tener una descripción complicada. Haga clic aquí para ver algunos ejemplos.

Los dos ejemplos anteriores muestran que las series de potencias pueden converger para todo z o solo para z=z₀. Sin embargo, y excluyendo estos casos, para una serie de potencias se pueden considerar todos los valores de z sobre el plano complejo para los cuales la serie converge.

La suma de cualesquier series de potencias que tengan un radio de convergencia positivo, representan una función analítica. En tal sentido es posible demostrar que, de manera recíproca, las funciones analíticas pueden ser representadas mediante las series de potencias, las cuales se denominan series de Taylor. Como se explicó con anterioridad, estas series de Taylor guardan similitudes con las estudiadas en el cálculo real.

Primero se debe obtener la fórmula de Taylor para una función f(z) analítica en la vecindad de un punto del plano complejo z=z₀. Para este fin se debe utilizar la fórmula de la integral de Cauchy, reemplazando z y z* en vez de z₀ y z, de la siguiente forma:

El punto z se encuentra dentro de C, por lo tanto se puede establecer una vecindad en un círculo de radio r con centro en el punto z₀, como se muestra en la figura que aparece en pantalla.

Resumen de las series más importantes.

Las series de Laurent son un tipo especial de series de potencias enteras que pueden ser positivas y negativas de z. Estas series buscan desarrollar una función con base en los puntos donde dicha función ya no es considerada analítica, sino singular.

Las series de Laurent convergen en alguna corona en la cual f(z) es analítica, pero donde no se pueden aplicar las series de Taylor debido a que las singularidades no solo se encuentran fuera del círculo más grande de la corona, sino también dentro del círculo más pequeño, lo cual las hace casos especiales.

Las integrales que definen los coeficientes se recorren en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de cualquier trayectoria simple cerrada C que esté en la corona y abarque el circulo interior, como se muestra en la figura que aparece en pantalla.

Material de apoyo

Si una función compleja f(z) no es analítica en el punto z₀, aunque en la vecindad de dicho punto z=z₀ es una singularidad de f(z), dicha singularidad se podrá clasificar en dos categorías:

Singularidad esencial

El punto z=z₀ corresponde a una singularidad esencial de la función compleja f(z), si en la serie de la forma:

Aparecen infinitas potencias de (z-a) negativas (Hernández y Núñez, 2015).

Polo de orden m

Si de la serie de Laurent:

La segunda serie contiene un numero finito de términos de la siguiente forma:

La singularidad de la función en el punto z-z₀ se denomina polo y la potencia m se denomina orden.

Una función compleja f(z) que es analítica dentro de algún dominio D tiene un cero en el punto z₀ si se cumple que f(z₀)=0. Al igual que los polos, los ceros también pueden ser de orden m, lo cual sucede si la función presenta un cero y también lo hacen sus derivadas de órdenes superiores: f', f'', f'''… f^(n-1), es decir que todas ellas tienen un cero en el mismo punto z₀.

Se denomina cero simple a un cero de primer orden; en el cual se cumple que f(z₀)=0 pero su derivada f'(z₀)≠0. En el caso de un cero de segundo orden, la primera derivada tiene un cero en el mismo punto de la función compleja: f(z₀)=0, f'(z₀)=0, f''(z₀)≠0. Los ceros de órdenes superiores siguen el mismo comportamiento según la definición.

Estudio de caso

La siguiente animación le permitirá revisar una situación en la que se aplica el concepto de series de potencias en el campo ingenieril.

Esta unidad inició con el estudio de la integral de línea compleja de una función f(z) tomada sobre una trayectoria C, denotada por ∫_Cf(z)dz, o sobre una trayectoria cerrada, denotada por ∮_Cf(z)dz.

También se describió otro método en el que si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces en D existe una F(z) tal que F'(z)=f(z) y para toda trayectoria C descrita dentro de D desde un punto z₀ hasta un punto z₁ se tiene:

Esta fórmula es conocida como teorema de la integral de Cauchy. También se estudiaron las series de potencias de la forma:

Donde el punto z₀ corresponde al centro. De igual manera se presentaron criterios para determinar si las series convergen o divergen y cómo estas pueden representar una función analítica. De manera opuesta se presentaron las series de Taylor, que permiten representar funciones analíticas mediante series de potencias. Por último, se definió la serie de Laurent, que se expresa como:

Se expuso el concepto de convergencia para esta serie y se describieron los conceptos de singularidad esencial, polos y ceros de orden m.