Aspectos a tener en cuenta para encontrar la serie de Taylor

Para encontrar la serie de Taylor se debe desarrollar 1/(z*-z) en la expresión adaptada de la fórmula de Cauchy en potencias de z-{{z}_{0}}. Se debe realizar un proceso matemático que puede ser consultado en Kreyszig (2003), donde se concluye con la expresión general de la fórmula de Taylor:

f\left( z \right)=\underset{m=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{f}^{\left( m \right)}}\left( {{z}_{0}} \right)}{m!}{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{m}}

Esta serie se denomina serie de Taylor de la función f\left( z \right) con centro en el punto {{z}_{0}}. Si el centro de la serie es el punto {{z}_{0}}=0, se denomina serie de Maclaurin de f\left( z \right), de forma similar que en el cálculo real.

Si una función f\left( z \right) es analítica en un dominio D, y si z={{z}_{0}} es cualquier punto dentro de ese dominio, entonces existe una serie de potencias con centro en {{z}_{0}} que representa a la función f\left( z \right). Esta serie se representa como:

f\left( z \right)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}{{\left( z- \right)}^{n}} donde {{a}_{n}}=\frac{1}{n!}{{f}^{\left( n \right)}}\left( {{z}_{0}} \right).

Los coeficientes también pueden ser obtenidos desde la fórmula de la integral de Cauchy:

{{a}_{n}}=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\mathop \oint }\,\frac{f\left( z \right)}{{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{n+1}}}dz

En donde la integración se realiza en el sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de una trayectoria simple cerrada que contiene al punto {{z}_{0}}.

En una función analítica existen algunos puntos donde f\left( z \right) pierde su analiticidad, estos puntos se denominan singulares. En efecto, z=c se denomina punto singular de f\left( z \right) si esta función no es diferenciable en dicho punto, y aunque todo disco con centro en c contiene puntos en los que la funcion compleja es diferenciable también se puede decir que f\left( z \right) tiene una singularidad en z=c. Por ejemplo, la función 1/(1-z) tiene una singularidad en z=1.

Con base en lo anterior es posible afirmar que la serie de potencias que representa una función compleja tiene por lo menos un punto singular sobre el círculo de convergencia.

Para ejemplificar este concepto, se sugiere leer detenidamente los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

Determine la serie de Taylor alrededor de cero de la función compleja: f\left( z \right)={{e}^{z}}, con {{f}^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)=1.

Solución

Se debe reemplazar la serie de Taylor en la expresión general:

{{e}^{z}}=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{1}{n!}{{z}^{n}}

Entonces, se puede determinar la convergencia utilizando el criterio del cociente:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}} \right|

=\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,\left| \frac{\frac{{{z}^{n+1}}}{\left( n+1 \right)!}}{\frac{{{z}^{n}}}{n!}} \right|

=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{z}{n+1} \right|

=\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{\left| z \right|}{n+1}

=0\textless 1

Por lo tanto, converge para todo z y entonces se puede desarrollar:

\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{\left( 1+i \right)}^{n}}}{n!}={{e}^{1+i}}

\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{i}^{n}}}{n!}={{e}^{i}}

De hecho, para la función exponencial se puede generalizar la forma de la serie, dado que es analítica para toda z. De acuerdo con Wrede y Spiegel (2010), la serie de Maclaurin tiene la forma:

{{e}^{z}}=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{z}^{n}}}{n!}=1+z+\frac{{{z}^{2}}}{2!}+\ldots

Ejercicio 2

Encuentre la serie de Taylor de la función: f\left( z \right)={{e}^{z}}, alrededor de un punto: a.

Solución

f\left( z \right)={{e}^{z}}=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{e}^{a}}}{n!}{{\left( z-a \right)}^{n}}

La cual converge para toda z. De hecho, se puede desarrollar mediante el siguiente procedimiento:

f\left( z \right)={{e}^{z}}

={{e}^{z-a+a}}

={{e}^{a}}{{e}^{z-a}}

={{e}^{a}}\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{1}{n!}{{\left( z-a \right)}^{n}}

=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{e}^{a}}}{n!}{{\left( z-a \right)}^{n}}