Convergencia de series

Si se denomina R al radio del menor circulo que tiene como centro el punto z₀, donde se encuentran contenidos todos los puntos de z para los cuales la serie presenta convergencia, entonces la relación: \left| z-{{z}_{0}} \right|\textless R implica que todos los puntos de z que se encuentran dentro del círculo convergen.

Por el contrario, si \left| z-{{z}_{0}} \right|>R quiere decir que los puntos de z que se encuentran fuera del círculo divergen. Este círculo también es conocido como círculo de convergencia, el cual tiene a R como radio de convergencia.

Circulo de convergencia *|z-z₀|=R*. Todos los puntos que se encuentran dentro del círculo —es decir, aquellos que se encuentran situados a una distancia del centro del círculo menor a su radio— convergen para la serie que se esté analizando.

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Entonces, si el radio de convergencia R=\infty quiere decir que la serie converge para todos los puntos de z, como se mostró en el primero de los ejemplos de convergencia de series. Si R=0 implica que la convergencia solo tiene lugar en el centro del círculo, es decir, en el punto z={{z}_{0}} como sucedió en el segundo ejemplo.

Con base en el estudio del radio de convergencia se utiliza la fórmula de Cauchy-Hadamard, la cual plantea que en sucesiones del tipo: \left| {}^{{{a}_{n+1}}}/{}_{{{a}_{n}}} \right|,~n=1,~2\ldots que convergen a un límite L, si dicho límite es igual a cero (L=0) el radio de convergencia es R=\infty , es decir, la serie de potencias es convergente para todo z.

Si L\ne 0, se plantea que: R=\frac{1}{L}.

Si \left| {}^{{{a}_{n+1}}}/{}_{{{a}_{n}}} \right|\to \infty ,~entonces: R=0.

Ejemplo

Determine el radio de convergencia para la siguiente serie de potencias:

\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{\left( 2n \right)!}{{{\left( n! \right)}^{2}}}{{\left( z-3i \right)}^{n}}

Solución

Utilizando el criterio del cociente:

L=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\left( 2\left( n+1 \right) \right)!}{\left( n+1 \right){{!}^{2}}}}{\frac{\left( 2n \right)!}{{{\left( n! \right)}^{2}}}} =\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{\frac{\left( 2n+2 \right)\left( 2n+1 \right)\left( 2n! \right)}{\left( n+1 \right)!~\left( n+1 \right)!}}{\frac{2n!}{n!n!}} =\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{\frac{\left( 2n+2 \right)\left( 2n+1 \right)\left( 2n! \right)}{\left( n+1 \right)~n!~\left( n+1 \right)~n!}}{\frac{2n!}{n!n!}}

Aplicando la ley de extremos y medios (conocida popularmente como ley de la oreja):

L=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2n+2 \right)\left( 2n+1 \right)}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}=4

Por lo tanto, el radio de convergencia es: R=\frac{1}{L}=1/4.

Se concluye entonces que la serie converge en el disco abierto: \left| z-3i \right|\textless 1/4. Es decir que el radio de convergencia es {\scriptscriptstyle 1\!/\!{ }_4} y el circulo de convergencia está centrado en 3i.

En este tipo de cálculo, es importante tener presentes las siguientes propiedades del factorial:

n!=n\left( n-1 \right)!
\frac{n!}{\left( n-1 \right)!}=\frac{n\left( n-1 \right)!}{\left( n-1 \right)!}

Si el radio de convergencia de una serie de potencias tiene un valor diferente a cero, implica que la serie está representando una función analítica. Por ejemplo, si la serie:

\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}{{\left( z-a \right)}^{n}}

Tiene la condición mencionada, donde R\ne 0 y la función compleja:

f\left( z \right)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}{{\left( z-a \right)}^{n}} en \left| z-a \right|\textless R.

Entonces se cumple que:

f\left( z \right) es una función analítica en \left| z-a \right|\textless R.
{f}'\left( z \right)=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,n{{a}_{n}}{{\left( z-a \right)}^{n-1}} en \left| z-a \right|\textless R.
Si C es una curva regular definida a trozos dentro del circulo de convergencia:
\underset{C}{\mathop \int }\,f\left( z \right)~dz=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}\underset{C}{\mathop \int }\,{{\left( z-a \right)}^{n}}~dz