El sistema de números complejos surge como una extensión natural del sistema de números reales en el que toda ecuación polinómica tiene solución y en el que gracias a la representación polar y exponencial de cada elemento se pueden calcular con facilidad sus potencias y raíces. En tal sentido, este sistema numérico cuenta con nuevas herramientas que permiten analizar funciones que modelan diferentes comportamientos físicos.

En esta unidad se estudiarán los elementos básicos que caracterizan la extensión de los números reales determinada por los números complejos, como las operaciones de suma, producto y potenciación. También serán examinados ciertos métodos para solucionar ecuaciones y se identificarán algunos teoremas que relacionan las diferentes representaciones de un número complejo. Además se definirá el concepto de límite de una función analítica.

Propósito general

Comprender los conceptos de continuidad, límites y derivadas de las funciones complejas, basándose en las operaciones algebraicas de los números complejos.

Propósitos específicos

• Definir las operaciones básicas para el conjunto de los números complejos y las representaciones polar y exponencial.
• Dar a conocer al estudiante la representación geométrica en el plano de los números complejos y sus diferentes propiedades.
• Describir diferentes tipos de funciones analíticas realizando un estudio de sus principales características y proporcionando las nociones de límite y continuidad.

En matemáticas, muchos problemas relacionados con la ingeniería deben ser tratados por medio de métodos que se sustentan en las operaciones dadas entre funciones reales, pero cuando dichas operaciones se salen de este contexto, es decir que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales, los números complejos se convierten en una herramienta de gran importancia para solucionarlas.

En esta unidad se abordan los conocimientos básicos del álgebra compleja, los cuales suponen las bases para una posterior profundización en diferentes ámbitos de la ingeniería.

Para iniciar con el estudio de los números complejos se debe recordar un problema que ha limitado la solución de ecuaciones polinómicas, y el cual consiste en no poder calcular el resultado de las raíces de números negativos. Por ejemplo:

Si x²+3=0, entonces:x=\pm \sqrt{-3}.

Es evidente la imposibilidad de encontrar una solución adecuada para la ecuación planteada, pues no existe ningún número que elevado al cuadrado sea igual a -3.

Por esta razón se debe definir un nuevo número que sirva como recurso para resolver este tipo de problemas. A este número se le conoce como número imaginario. Por ejemplo:

i=\sqrt{-1}

Recuerde que todo número real elevado al cuadrado tendrá como resultado un número mayor o igual que cero. Haga clic sobre el enlace para profundizar en este concepto.

En matemáticas, los números complejos son una extensión de los números reales que aparecen debido a la necesidad de abarcar, por medio de ecuaciones o polinomios cuadráticos, las raíces de orden par de los números negativos.

En este contexto, los números complejos se conforman por medio de un par de números reales, el primero considerado como su parte real y el segundo, como su parte imaginaria. Esto se puede representar como: z=a±bi.

La representación gráfica de los números complejos se puede trazar por medio de vectores (Hernández y Núñez, 2015), los cuales pueden ser interpretados con mayor claridad y permiten definir conceptos sobre las componentes reflejadas sobre el eje real y el eje imaginario, facilitando el entendimiento de las propiedades.

Haga clic sobre cada uno de los enlaces para conocer las operaciones básicas de los números complejos y sus respectivos ejemplos:

• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División

Actividad de aprendizaje

Con el propósito de poner en práctica los conocimientos adquiridos hasta este punto, se sugiere hacer la siguiente actividad de emparejamiento.

La representación polar es la forma más sencilla de representar un número complejo, pues se asemeja a muchas aplicaciones que usan vectores en el plano cartesiano. Las coordenadas polares se definen por medio del módulo y el ángulo, los cuales se encuentran dados por medio de sus componentes rectangulares sobre los parámetros reales e imaginarios.

Para determinar las componentes polares y rectangulares se deben tener presente los parámetros definidos por Pitágoras y las funciones trigonométricas. Haga sobre el enlace para conocer los teoremas que permiten calcular las coordenadas polares y rectangulares.

En cuanto a la suma de las componentes real e imaginaria, se puede definir que dado: z=a1 + b1i, su equivalente se encuentra dado como: z=r cosθ + r senθio z=r(cosθ + senθi). Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo en el que se determinan las formas rectangular y polar de un número complejo.

Representación de multiplicación y división en forma polar

La forma polar determina la multiplicación y división entre números complejos como una alternativa matemática que facilita la solución de estas operaciones. Haga clic sobre el enlace para ver la forma en que se desarrollan.

Material de apoyo

Forma de Euler

La forma de Euler permite interpretar un número complejo de forma polar en una alternativa matemática dada por medio de:

e^θi = cosθ+senθi, donde: θ∈R.

Entonces la forma exponencial más común que representa con mayor similitud los números complejos, se encuentra dada de la siguiente manera:

Si z = r(cosθ+senθi), entonces: z=re^θi.

Donde r se conoce como el módulo y θ, como el argumento representado en radianes.

Teorema de Moivre

El teorema de Moivre se aplica en un número complejo para calcular potencias representadas por n, de la siguiente manera:

Dado un número complejo: z=r(cosθ+senθi), o representado por medio de la forma exponencial: re^θi, es posible obtener un número: zⁿ, de la forma:

zⁿ = (rcosθ+senθi)ⁿ = rⁿ(cos(nθ)+sen(nθ)i).

Entonces, si se tiene: z², su representación se encuentra dada por:

z² = r²(cos(2θ)+sen(2θ)i).

En esta sección se considerarán algunas curvas y regiones importantes, así como algunos conceptos que se relacionan con ellas y que serán usados con frecuencia. Lo anterior también le servirá para familiarizarse aún más con el plano complejo.

Al conocer las características del plano complejo se pueden estudiar las funciones complejas que son diferenciables en algún dominio. Por lo tanto, primero es necesario establecer qué se entiende por función compleja y luego definir los conceptos de límite y derivada en los números complejos. Este análisis es semejante al que se efectuó en el cálculo de los números reales.

Para entender la analiticidad de una función compleja se utilizarán las ecuaciones de Cauchy-Riemann como un criterio importante que permite evaluar este concepto en diferentes tipos de funciones.

Para continuar con el estudio del plano complejo resulta necesario profundizar en el trazado y la interpretación de algunas curvas y regiones. En tal sentido, la primer categoría a tratar es la de circunferencias y discos, donde la distancia entre dos puntos u y v es definida como |u – v|. De esta forma, una circunferencia de radio r y centro en v se puede expresar como:

|u – v|=r

Existe un caso especial denominado circunferencia unitaria, cuya característica principal es que r=1 y además se encuentra centrada en el origen. Por lo tanto, la expresión que describe la circunferencia es:

|u|=1

Teniendo en cuenta lo anterior, se puede plantear la siguiente desigualdad:

|u – v|<r

La cual es válida para cualquier punto u que se encuentre dentro de la circunferencia, dando paso a la creación de una región conocida como disco circular abierto. En el mismo sentido, es posible definir el disco circular cerrado como:

|u – v|≤r

El cual contiene el interior de la circunferencia y a ella misma. También es posible establecer una nueva región mediante una desigualdad que represente el exterior de la circunferencia:

|u – v|>r

Por último, es posible definir una región denominada corona abierta, que consta de dos círculos concéntricos determinados por la siguiente desigualdad:

r₁<|u – v|>r₂

Para estudiar límites y derivadas es necesario definir qué es una función compleja, lo que permitirá abordar los conceptos relacionados con su cálculo.

Una vez revisado el concepto de función compleja se pueden estudiar el límite para una función compleja y la continuidad. Se define l como el límite de una función compleja f(z) cuando la variable z tiende al punto z₀, de la siguiente manera:

Si la función se encuentra bien definida en la vecindad de z₀ y si los valores de f se aproximan a l para cada uno de los z cercanos a z₀; entonces para todo real positivo ε se puede determinar un δ real positivo tal que z≠z₀ en el disco abierto |z – z₀|<δ, donde se tiene: |f(z)–l|< ε. Haga clic sobre el enlace para ver la representación gráfica de esta expresión.

De esta forma, para todo z≠z₀ en un disco de radio δ, se tiene que el valor de la función pertenece al disco.

La derivada de una función compleja en el punto z₀ se expresa como f'(z₀) y se define así:

Para lo cual, el límite siempre debe existir.

De esta forma se puede afirmar que la función f es diferenciable en z₀. Es importante considerar que de acuerdo con la definición dada para los limites, la función f(z) está definida en alguna vecindad de z₀ y z, además puede aproximarse a z₀ siguiendo cualquier dirección en el plano complejo.

Con el fin de comprobar la analiticidad de una función compleja de la forma:

w=f(z)=u(x, y)+iv(x, y)

Se establece que cumple los criterios de analiticidad si y solo si las primeras derivadas parciales de u y v cumplen con las siguientes ecuaciones en todo el dominio D:

u_x=v_y y u_y=-v_x.

Estas ecuaciones son conocidas como las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en las que:

y .

Estas ecuaciones se definen de manera similar para las para v. Por último, si la función compleja es representada de la forma polar: f(z)=u(r, θ)+iv(r, θ), las ecuaciones de Cauchy-Riemann son las siguientes:

y .

En esta sección se estudiarán varias de las funciones complejas más relevantes y que proporcionan la mayor cantidad de aplicaciones útiles en diversos sistemas. Todas estas funciones han sido tratadas previamente en el cálculo de números reales, sin embargo acá se presentarán propiedades que no son evidentes en el conjunto de los números reales.

Esta es una de las funciones analíticas más importantes del conjunto de los números complejos y por lo general se expresa de dos formas: e^z o exp z. Esta función compleja puede representarse utilizando tres funciones reales, de la siguiente forma:

e^z = e^x(cos y + i sen y)

Esta expresión define a e^z como una prolongación natural de la función exponencial real e^x. De hecho, se deben considerar las siguientes tres propiedades:

• e^z debe ser una función analítica para todo z.
• Cuando z=x, e^z debe reducirse a la función real e^x.
• La derivada está definida de una forma similar al cálculo: (e^z)'=e^z.

Comprobación y ejemplo

Haga clic sobre el siguiente enlace para conocer cómo se comprueban las tres propiedades vistas, y en este otro enlace para ver un ejemplo de aplicación de la función exponencial compleja.

Las funciones trigonométricas se definen mediante parámetros complejos considerando su generalización con las funciones reales correspondientes a seno y coseno.

El logaritmo natural es inverso a la función exponencial, por lo que si w=ln z para z≠0, se expresa como: e^w=z. Si se toma w=u+iv y se expresa en su forma polar z=re^iθ, se puede definir: e^w=e^u+iv=re^iθ.

De acuerdo con las propiedades de la función exponencial compleja, según Acevedo (2016), se puede expresar que: e^u=r y v=θ. Por lo tanto, se puede despejar fácilmente y obtener u=ln(r)=ln|z|, donde ln(r) es el logaritmo natural real de r.

Ahora bien, como e^u=r entonces se puede realizar: z=re^iθ=e^ue^iθ=e^ue^iv y se puede igualar e^iθ=e^iv, es decir que e^i(v-θ)=1, y asi se puede definir v-θ=2nπ, lo cual se puede reescribir como v=θ+2nπ, entonces:

w = u+iv = log z = ln|z|+i(θ+2nπ) con n=0, 1, 2…

Se puede incluir en la ecuación anterior el argumento de z(arg z), el cual contiene todos los números de la forma θ+2nπ:

log z = ln|z|+i arg z

A diferencia del logaritmo natural de los números reales, el argumento de z está condicionado a los múltiplos enteros de 2π, por lo tanto el logaritmo natural complejo tiene infinitos valores. Al suceder esto, log z no es una función como generalmente se conoce, debido al conjunto infinito de números complejos distintos.

Así las cosas, la función logaritmo complejo se define como:

log z = ln|z|+i arg z con z≠0

En la cual se utiliza el valor principal del argumento y de esta forma log z sí es una función.

A lo largo de esta unidad se estudiaron los números complejos y su correspondiente representación en el plano complejo:

z = x+iy = re^iθ = r(cosθ+i senθ)

Posteriormente se definieron funciones complejas que cumplen con el concepto de analiticidad, para lo cual se aplicaron las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

y

Es importante recordar que una función compleja f(z)=U(x, y)+iv(x, y) es analítica en un determinado dominio si tiene derivada. Por ejemplo:

Finalmente se profundizó en algunas funciones complejas relevantes en el cálculo, las cuales se exponen en el gráfico que aparece en pantalla.