Las nociones de población y muestra son parte fundamental en cualquier investigación. En esta unidad se estudiarán de manera mas amplia, en particular en el contexto del concepto de variables aleatorias, destacando la importancia de conocer la distribución muestral de un estadígrafo, ya que con esta se puede realizar el proceso de inferencia del parámetro; de igual forma se puede estimar el error para un tamaño de muestra dado.

Objetivo general

Calcular e interpretar parámetros poblacionales para: medias, proporciones y varianza a partir de datos muéstrales.

Objetivos específicos

• Manejar el concepto del teorema del límite central.
• Comprender y aplicar las distribuciones muéstrales de medias, varianzas y proporciones.
• Realizar estimaciones por intervalos para la media, la proporción y la varianza.

En un grupo de estadística hay 40 estudiantes (población) y promediando su estatura se obtiene µ=1,68 m (parámetro poblacional). Si se elige una muestra aleatoria de 15 estudiantes y se calcula la media muestral de estaturas, obteniendo (estadístico):

Se observa que existe una diferencia entre el parámetro y el estadístico que se denomina error muestral, obteniendo:

A continuación revise un caso de ejemplo sobre error muestral

Se seleccionan muestras aleatorias de tamaño “n” de una población con media “µ” y desviación estándar “σ”. Entonces, si n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a “µ” y una desviación estándar de:

La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor (De la Torre, 2003).

En la distribución normal, la variable estandarizada permite calcular la probabilidad de un evento.

Cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30, o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la fórmula de la distribución normal con:

y

Entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la siguiente manera:

Donde:

\large Z= Número de desviaciones estándar que está \large x de la \large \mu.

\large \bar{x}= Media muestral.

\large \mu= Media poblacional.

\large \sigma _{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}= Desviación estándar de las medias muestrales.

\large \sigma= Desviación estándar poblacional.

\large \sigma= Tamaño de la muestra.

A continuación revise un caso de ejemplo sobre distribución central de medias

En la distribución muestral de medias, el científico o ingeniero estaba interesado en apoyar una conjetura de la media con una población; sin embargo, en muchas ocasiones el interés puede ser en dos o mas poblaciones, y las diferencias entre ellas.

Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con media µ, y varianza σ², y se calcula la varianza muestral, se obtiene el valor del estadístico s² que se utiliza para conocer la σ², mediante una variable aleatoria chi cuadrada con “n-1” grados de libertad.

El estadístico muestra, formalizando el teorema: si s² es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño “n” que se toma de una población normal que tiene varianza σ², entonces el estadístico tiene una distribución chi cuadrado con v= n-1 grados de libertad.

La distribución muestral de proporciones permite investigar la proporción de algún atributo en una muestra (variables cualitativas), se genera como la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción en lugar del estadístico promedio.

En la distribución muestral de proporciones, la fórmula para calcular la probabilidad parte de la aproximación de distribución normal a binomial, diferenciando si es una población finita.

Además, muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando proporciones o porcentajes, acción que se denomina cálculo de probabilidaddel estadístico de diferencia de proporciones dentro de la distribución muestral con el mismo nombre.

El principal propósito de la presentación de variables y sus distribuciones muéstrales consiste en realizar conclusiones acerca de los parámetros poblacionales; por ejemplo, en el teorema del límite central está incluida la media poblacional que al despejar quedaría en términos de los estadísticos de la muestra.

Dentro de los conceptos a trabajar en la estimación por intervalos, están:

• El intervalo de confianza, definido como la medida del grado de fiabilidad de la estimación en el intervalo.
• La estimación de la media para muestras grandes.
• La estimación de la media para muestras pequeñas.
• La estimación de la proporción en una población.
• La estimación de la diferencia entre medias de dos distribuciones normales, varianzas desconocidas pero iguales.
• La estimación de la diferencia entre medias de dos distribuciones normales, varianzas desconocidas y diferentes.
• La estimación por intervalos para observaciones pareadas.
• La estimación por intervalos para la varianza.

Se revisó la estructura y las características de las distribuciones muéstrales de medias y varianzas en variables cuantitativas, la distribución muestral de proporciones para variables cualitativas, las bases para realizar estimaciones por intervalos, y su aplicación en ciencias e ingeniería.

Se denomina error muestral al hecho que cuando se calcula un estadístico a partir de una muestra, sea media, desviación estándar o proporción para estimar parámetros poblacionales siempre conlleva algún error.

Cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30, o de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal.