En esta unidad se conceptualizarán temas como las integrales, la antiderivada, integrales definidas, teoremas fundamentales del cálculo y la integración con sus diversas técnicas, incluyendo las funciones trigonométricas y sus inversas en cuanto a integración se refiere. Todo esto implica un conocimiento previo de la derivación, sus técnicas y aplicaciones, así como las funciones trigonométricas y sus derivadas.

Al finalizar el curso, los estudiantes estarán en condiciones de responder a las siguientes preguntas:

• ¿Qué es integración?
• ¿Cuáles son los tipos y técnicas de integración comunes en ingeniería?
• ¿Cuáles son las principales aplicaciones de la integral en ingeniería?

Material de apoyo

Objetivo general

Solucionar problemas de aplicación a la ingeniería mediante la formulación de modelos matemáticos adecuados en términos de integrales, reforzando e interrelacionando los conceptos del cálculo diferencial con los del cálculo integral.

Objetivos específicos

• Entender los conceptos de integral indefinida e integral definida.
• Establecer las relaciones entre el cálculo diferencial y el cálculo integral.
• Distinguir y conocer los conceptos sobre técnicas de integración y su posible aplicación.
• Aplicar la integración a problemas de ingeniería.

Muchas veces se nos pide encontrar la función desde donde se originó una derivada específica. Es en esos casos cuando hablamos de la primitiva o antiderivada de una función.

Entonces decimos que una función F es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo conocido I si se cumple que F´(x) = f(x), para todo x en I. Vale la pena aclarar que es «una primitiva» y no «la primitiva», porque se puede dar el caso en el que el valor de la constante varíe aunque la primitiva sea la misma.

Con base en el teorema 1 se puede representar la solución general de una ecuación diferencial propuesta.

Para desglosar el concepto de antiderivación se recomienda consultar la siguiente lectura.

Como se mencionó anteriormente, con base en la diferenciación y la antiderivación expresamos los teoremas básicos de la integración.

• Teorema 2 y 3.

Vemos entonces que la integral del producto de una constante por una función es la constante por la integral de la función.

• Teorema 4.

La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de las funciones, siempre y cuando ambas funciones estén definidas en el mismo intervalo.

• Teorema 5.

Esta es la generalización del teorema cuatro para cualquier número de funciones definidas en el mismo intervalo.

• Teorema 6.

Este es entonces, el teorema para el cálculo de la integral de una función potencial. Para ver algunos ejemplos, se sugiere consultar la ampliación temática.

Material de apoyo

Corresponde al cálculo del área de una región específica en un plano. Para elaborar dicho cálculo usaremos la notación sigma, la cual obtiene su nombre por la letra griega Σ.

• Teorema 7.

Vemos que la sumatoria también tiene propiedades relacionadas con la suma; es decir, leyes asociativa, conmutativa y distributiva respecto de la multiplicación, de tal manera que podemos escribir:

• Teorema 8.

Estas sumatorias nos serán muy útiles a la hora de realizar cálculos de sumas de potencias y otros tipos de sumas. A propósito de este tema, el video de la derecha explica qué es el método de exhaución.

Actividad de aprendizaje

La siguiente actividad de emparejamiento le permitirá poner en práctica algunas de las definiciones expuestas hasta este punto.

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b], los limites cuando n tiende a infinito de las sumas inferiores y superiores son idénticos.

Con ∆x=(b-a)/n y donde f(m₁), f(M_i), son los valores mínimo y máximo de f en el i-ésimo subintervalo.

Los límites de las sumas superior e inferior son iguales e idénticos, siempre y cuando se tomen suficientes rectángulos, cada vez más pequeños, teniendo al infinitesimal.

Las sumas de Riemann, en las cuales profundizaremos más adelante, permiten calcular áreas por aproximación de subáreas, llevando el resultado al límite cuando se tiende a los puntos extremos o críticos de las funciones que intervienen en la delimitación del área a calcular. Este es el principio que sustenta el uso de la integración en el cálculo de áreas bajo la curva o entre curvas.

Material de apoyo

Teorema 9. Área de una región plana

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. Se dice que el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b están dados por:

Donde, ∆x = (b-a)/n.

Haga clic sobre el enlace para ver la representación gráfica del teorema 9.

El cálculo del área de regiones es una de las principales aplicaciones de la integral, además de ser una de las más sentidas necesidades de la ingeniería en procesos como la distribución de áreas, el aprovechamiento de espacios, la logística de distribución y el diseño de los procesos de producción, en los que se requiere calcular áreas específicas para poder distribuir espacios y ubicar maquinaria y espacios de trabajo de manera eficiente.

Para ejemplificar este concepto, se sugiere la lectura del ejercicio que se resuelve en la ampliación temática de la derecha.

Material de apoyo

Las sumas de Riemann permiten calcular áreas e identificar promedios de velocidad.

• Teorema 10.

Debemos tener en cuenta que la mayor longitud de una partición ∆ se llama norma de la partición y se denota por el símbolo ‖∆‖. Si todos los subintervalos son de una misma longitud, entonces la partición es regular y la norma se denota por:

Donde la partición general estará dada por:

De tal manera que el número de subintervalos de una partición tiende al infinito cuando la norma de la partición tiende a cero (concepto que usaremos para la integral definida). Haga clic sobre el enlace para ver un gráfico que representa la estructura de las sumas de Riemann.

Este procedimiento es usado de manera frecuente para calcular áreas planas y resulta eficiente cuando las regiones son regulares o cuando se trata de polígonos regulares e, incluso, irregulares.

Material de apoyo

La integral definida es uno de los grandes logros de la matemática, pues gracias a ella es posible resolver más de 20 aplicaciones ingenieriles que por otros métodos sería dispendioso o incluso imposible de calcular. Para entender su uso, se recomienda analizar los siguientes teoremas y sus respectivos ejercicios de aplicación.

Una vez estudiados los teoremas, veamos los ejercicios de aplicación correspondientes.

• Teoremas 11, 12 y 13.

Material de apoyo

La integral definida, al igual que la integral indefinida, tiene propiedades que la caracterizan y que permiten su uso en diversas aplicaciones ingenieriles entre las que se destacan: el cálculo de áreas, de velocidades, de volúmenes, etc.

La definición de integral implica que a<b, sin embargo, se deben considerar los casos donde a=b y a>b, lo que se verá en el siguiente teorema:

• Teorema 14.
• Teorema 15.

Las propiedades más usadas de las integrales definidas se ven en el siguiente teorema.

• Teorema 16.
• Teorema 17.

Este teorema muestra la forma de eliminar las constantes en una primitiva para que deje de ser una integral indefinida y se convierta en una integral con límites expresos y definidos.

• Teorema 18.

En el siguiente enlace se propone una estrategia para aplicar el teorema fundamental del cálculo, la cual resulta fundamental para su uso apropiado.

• Teorema 19

El teorema del valor medio para integrales afirma que existe, entre el rectángulo inscrito y el circunscrito, un rectángulo cuya área se determina en el siguiente gráfico.

• Teorema 20.

Material de apoyo

Cuando se habla de la integral en el intervalo [a, b], el límite superior es fijo en b. Sin embargo, podemos contemplar la situación en la que este límite superior de integración sea la variable x, entonces podemos expresarlo de la siguiente forma:

Integral definida como un número	Integral definida como una función
Donde a y b son constantes y f es función de x.	Aquí, a es constante, F es función de x y f es función de t.

Como podemos ver, permite calcular integrales simultáneas donde el límite superior varía dentro de un patrón preestablecido para el intervalo, lo que representa por completo el inverso de la derivación.

Este teorema es muy utilizado para calcular funciones compuestas o integrales con funciones como límite.

• Teorema 21.

Material de apoyo

Para el cálculo de la integral de funciones trigonométricas tenemos los siguientes teoremas, igualmente obtenidos de la derivación de funciones trigonométricas.

• Teoremas 22 y 23.

Para las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, tenemos el siguiente teorema:

• Teorema 24.

Haga clic acá para ver la demostración de estos teoremas.

Las funciones trigonométricas son muy utilizadas en diversos cálculos de la ingeniería y en sus diversos campos de aplicación. Algunas de ellas se basan en las relaciones del triangulo de Pitágoras.

En el siguiente enlace encontraa una representación gráfica de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

La integración se entiende como la función inversa de la derivación, y se constituye en un método eficiente para calcular áreas de regiones planas, pues es más ágil y rápido de usar que otros métodos como los geométricos.

En esta unidad se abordaron temas como la antiderivada, el cálculo de áreas, las sumas de Riemann y el teorema fundamental del cálculo, los cuales le permitirán al estudiante estudiar contenidos aplicados en el campo de la ingeniería.