En su gran mayoría los fenómenos reales que se modelan utilizando ecuaciones diferenciales involucran diferentes variables que se interrelacionan ocasionando que éstas dependan una de las otras. En este sentido, en los modelos generados aparecen varias ecuaciones diferenciales con distintas variables constituyendo así lo que denominaremos un sistema de ecuaciones diferenciales.

Ahora bien, estos sistemas de ecuaciones diferenciales pueden verse como una generalización de las ecuaciones vistas hasta el momento, para los cuales, infortunadamente, los métodos de solución trabajados, en general, no son aplicables.

En particular, debe observarse que a diferencia de las ecuaciones trabajadas en unidades anteriores, acá una ecuación de un sistema puede involucrar más de una variable independiente. Así, el objetivo de esta unidad consiste en estudiar métodos de solución para algunos sistemas de ecuaciones diferenciales.

Propósito General

Abordar la noción de sistema de ecuaciones diferenciales y estudiar algunos métodos para solucionar ciertos tipos de sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

Propósitos Específicos

• Identificar tipos de sistemas de ecuaciones diferenciales según su orden o el tipo de coeficientes que aparecen en las ecuaciones.
• Estudiar un método para solucionar sistemas normales de primer orden de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.
• Estudiar la solución de sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes empleando la transformada de Laplace.

Con el objetivo de definir formalmente qué es un sistema de ecuaciones diferenciales, de manera similar a como se realizó con la transformada de Laplace, es necesario caracterizar tanto los espacios vectoriales de trabajo como los operadores entre ellos que serán objeto de estudio en la unidad.

Particularmente, nuestra intención es trabajar con operadores que se obtienen a partir del operador básico de derivación D.

Ya que los operadores diferenciales lineales son similares en estructura a expresiones polinómicas en variable D, bajo ciertas condiciones de dominio, podemos sumarlos, multiplicarlos y en sí realizar operaciones algebraicas básicas con ellos.

De manera análoga a como se define un sistema de ecuaciones lineales en álgebra lineal, decimos que un sistema de m ecuaciones diferenciales con n incógnitas sobre el intervalo I es un sistema de la forma:

en donde F_ij es un operador diferencial lineal en I, para i=1...m y j=1...n, y x₁,x₂,...,x_n son funciones de t que toman el papel de incógnitas en el sistema.

Diremos que un sistema de ecuaciones diferenciales FX=G es de primer orden si todos los operadores diferenciales que aparecen en son de orden menor o igual que 1.

Como es costumbre, antes de hablar de los métodos de solución necesitamos conocer que efectivamente un tal sistema tiene solución, en particular tenemos que todo sistema de primer orden normal de tamaño nxn de ecuaciones diferenciales lineales X´ = F(t)X + G(t) con condición inicial X(t₀) = X₀, para t₀ en I y X₀ de ℝⁿ tiene una única solución en el intervalo I. A esto se le conoce como Teorema de existencia.

Ahora bien, de manera análoga a lo desarrollado para las ecuaciones diferenciales ordinarias, dado el sistema X´=F(t)X+ G(t) llamaremos a X´=F(t)X la ecuación homogénea asociada y comenzaremos por estudiar su solución, pues como antes, conociendo la solución del sistema homogéneo y X_c una solución particular del sistema X_p, la solución total del sistema estará dada por:

X = X_c + X_p

Solución de la ecuación homogénea asociada a un sistema normal de primer orden.

En resumen tenemos que: El sistema homogéneo X´=F(t)X de tamaño nxn en el intervalo I tiene como conjunto solución a un espacio vectorial de dimensión n. A esto se lo conoce como el Teorema Solución de un sistema homogéneo.

En esta sección nos enfocaremos en estudiar un proceso para solucionar sistemas normales de primer orden de tamaño nxn con ecuaciones lineales con coeficientes constantes, es decir sistemas que son de la forma

X´=AX+G(t)

donde A es una matriz de números reales de tamaño nxn.

Específicamente, realizaremos el estudio en dos etapas. Primero revisaremos cómo resolver el sistema homogéneo y luego observaremos cómo obtener una solución particular.

Material de apoyo

El teorema sobre la forma de las soluciones de un sistema homogéneo dice que dado el sistema homogéneo X´ = AX, si λ es un valor propio real de A y V es un vector propio correspondiente a λ, entonces X = Ve^λt es una de sus soluciones sobre el intervalo (-∞,∞).

A partir de este resultado, podemos observar que si tenemos un conjunto de valores propios reales diferentes λ₁, λ₂, ..., λ_m con vectores propios correspondientes V₁, V₂, ..., V_m, entonces ya que estos son linealmente independientes se obtiene que cualquier vector de la forma

es una solución del sistema homogéneo.

Ahora bien, para realizar nuestro estudio de una forma más organizada, abordaremos la solución de tales sistemas homogéneos por casos dependiendo de su tamaño:

• Sistemas homogéneos 2x2
• Sistemas homogéneos nxn, con n>2

Finalmente, se presentará el cálculo de una solución particular por variación de parametros.

Para finalizar esta unidad vamos a mostrar cómo utilizar la transformada de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes y condiciones iniciales.

Específicamente dado un sistema de ese tipo se aplica a cada ecuación la transformada de Laplace para obtener así una ecuación algebraica. De esta forma el sistema de ecuaciones diferenciales se traduce en un sistema de ecuaciones algebraicas que puede solucionarse por los métodos conocidos y, como en la unidad anterior, se utiliza la transformada inversa para transformar las soluciones del sistema algebraico en las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales.

Utilizando la transformada de Laplace podemos inclusive resolver algunos sistemas de ecuaciones que no son de primer orden pero sí tienen coeficientes constantes, veamos este ejemplo.

Actividad de aprendizaje

En la siguiente actividad, haz parejas. Relaciona el sistema de ecuaciones dado con las soluciones de dicho sistema.

En esta unidad abordamos en primera instancia la noción de sistema de ecuaciones diferenciales y presentamos una clasificación básica a partir del orden de los operadores diferenciales que aparecen en las ecuaciones. En seguida estudiamos algunos resultados que se refieren a la forma y existencia de las soluciones de un sistema normal de primer orden de ecuaciones diferenciales.

De manera particular nos centramos en estudiar la forma de solucionar un sistema normal de primer orden de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes siguiendo dos pasos. En primer lugar, estudiamos la solución del sistema homogéneo asociado, para lo cual analizamos los posibles casos que aparecen según los valores propios de la matriz asociada, y en segndo lugar extendimos el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular del sistema.

Finalmente, mostramos la forma de utilizar la transformada de Laplace para solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales no necesariamente de primer orden pero si con condiciones iniciales.