En esta unidad revisaremos los teoremas fundamentales para resolver los problemas de frontera y de valores iniciales para las ecuaciones diferenciales de orden superior.

En segundo lugar revisaremos algunos métodos para resolverlas y por último se estudiará los modelos físicos de vibraciones y oscilaciones cuyo modelado se realiza con las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Propósito Global

Establecer condiciones para la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias de órdenes superiores y estudiar algunos métodos para su solución.

Propósitos Específicos

• Estudiar ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y algunos métodos de solución para ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes.
• Solucionar los métodos analizados en el ítem anterior para solucionar ecuaciones diferenciales de órdenes superiores con coeficientes constantes.

En la primera unidad se estudió con detalle la clasificación de las ecuaciones diferenciales, por orden, linealidad y el tipo de derivadas. Para iniciar con el estudio de las ecuaciones diferenciales de orden superior haremos la especificación de estudiar las denominadas ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, esto implica las ecuaciones de la forma:

Las cuales se conocen como una ecuación diferencial lineal de orden n.

De manera adicional se dice que si g(x)=0, entonces esta es una ecuación Homogénea tal como se muestra a continuación:

Recordemos ahora la definición de los problemas de valor inicial y los problemas de valor de frontera para las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior; como el conjunto fundamental de soluciones de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas en la ampliación temática denominada Soluciones generales para ecuaciones diferenciales.

Para el método de reducción de orden trabajamos con las ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales, es decir:

El propósito del método es encontrar la segunda solución y₂ a partir de una solución conocida y₁, en la gráfica de esta pantalla se expone el método.

Para una mejor comprensión de este tema veamos el siguiente ejemplo.

Una ecuación diferencial con coefientes tiene la forma:

Donde a_n, a_n-1, ..., a₂, a₁, a₀ son números reales.

Para iniciar con el estudio de las ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes, centraremos nuestro estudio en las ecuaciones de segundo orden:

Para la ecuación anterior, se calculará las siguientes soluciones.

A continuación se expondrán diferentes ejemplos que permitirán una mejor compresión de este tema.

El método de los coeficientes indeterminados es el primer método que estudiaremos para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas, las cuales están formadas por la denominada solución complementaria que corresponde a la ecuación diferencial homogenea asociada y la solución particular.

El método de los coeficientes indeterminados consiste en hacer una suposición sobre la solución particular con base en la forma de la función g(x) y posteriomente encontrar los coeficientes de dicha solución supuesta; repasemos los siguientes ejemplos.

Actividad de aprendizaje

En este juego empareja las formas del g(x) de una ecuación diferencial con coeficientes constantes no homogénea con las suposiciones de la soluciones particulares para la ecuación diferencial.

Para estudiar el método de variación de parámetros mostraremos el método para las ecuaciones de segundo orden y posteriormente haremos el trabajo con las ecuaciones de orden superior.

Para entender mejor esta metodología, se presenta un ejemplo. ¡Estudiémoslo!

En la siguiente actividad queremos que el lector ponga en práctica los métodos estudiados en esta unidad y además explore y estudie algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a los sistemas de Masa- Resorte.

Material de apoyo

En esta sesión estudiamos las ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales, trabajamos con las ecuaciones diferenciales homogéneas y sus tipos de soluciones.

Posteriormente, abordamos el método de los coeficientes indeterminados y variación de parametros, estos métodos fueron estudiados para las ecuaciones diferenciales no homogéneas.