El estudio de esta unidad le permitirá usar un método de regresión o de interpolación que actúe de manera eficiente sobre un conjunto de datos, de igual manera le proporcionará herramientas para entender los conceptos relacionados con los temas a tratar.

Para empezar es importante definir el concepto de la regresión, que será determinante durante el desarrollo de la unidad y el cual se entiende como el resultado que se obtiene tras hacer un proceso para estimar la relación entre variables.

Propósito general

Realizar ajustes a conjuntos de datos, reales o inventados, a partir de curvas usando el método más apropiado para ello.

Propósitos específicos

• Seleccionar el modelo matemático más apropiado para aproximar datos reales.
• Obtener conclusiones coherentes entorno a la aproximación de datos reales.
• Realizar ajustes a curvas usando el método más eficiente según los datos proporcionados.

Es habitual encontrar problemas en los que se deben estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos. En algunos casos se conocen los valores de una función f(x) para algunos valores de x, pero no se conoce una expresión analítica de f(x) para calcular el valor de f en cualquier punto arbitrario.

En consecuencia, la idea de la interpolación es la de estimar una expresión para la función f en cualquier punto x a partir de la construcción de una curva polinómica que una los puntos ya conocidos. Un ejemplo de este concepto son las mediciones de laboratorio, las cuales se realizan con intervalos, pero requieren el valor de otro punto que aún no ha sido medido.

Haga clic sobre el enlace para profundizar en este concepto.

Interpolar significa estimar el valor desconocido de una función en un punto, tomando una medida promediada de sus valores conocidos en puntos cercanos a los dados inicialmente.

Dados los puntos (x₀, y₀) y (x₁, y₁), para realizar la interpolación se utiliza una recta que pasa por los dos puntos. Entonces, la pendiente de esta recta está dada por:

Así, si en la ecuación de la recta y=m(x-x₀)+y₀ se sustituye el valor de m, se obtiene:

Siendo este un polinomio de grado ≤1, tal que al evaluar P(x) en los valores x₀ y x₁ se obtiene respectivamente:

y

Haga clic aquí para ver la recapitulación de este ejercicio, y sobre el esquema interactivo para conocer los tipos de interpolación del método de Lagrange.

Como ya se mencionó existen varios métodos para realizar interpolación polinómica que arrojan como resultado el mismo polinomio, debido a que este es único. En tal sentido, el polinomio de interpolación de Newton en diferencias dividas es posiblemente el método más popular y accesible.

En la siguiente interactividad se presentan los distintos tipos de interpolación de Newton. Haga clic aquí para acceder al contenido.

Aplicativos

En el esquema interactivo, que le sugerimos revisar, encontrará dos aplicativos. El primero de ellos le permitirá calcular el polinomio de interpolación de Lagrange, mientras que el segundo presenta un ejemplo de las diferencias divididas de Newton. En ese segundo aplicativo deberá responder una pregunta que le permitirá poner en práctica los conocimientos adquiridos hasta este punto.

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para acceder a una actividad en la que deberá aplicar dos de los métodos de interpolación estudiados hasta este punto.

Al tener un conjunto de datos existen situaciones en las que la interpolación polinomial no resulta ser adecuada para calcular valores intermedios, particularmente cuando los datos son experimentales.

Para estos casos existe una estrategia que consiste en obtener una función de aproximación que se ajuste a la forma o la tendencia general de los datos sin necesidad de coincidir precisamente en todos ellos. Así surge el método de ajustes por medio de la regresión.

A continuación se describen dos métodos de regresión, la lineal y la polinómica.

Actividad de aprendizaje

Antes de profundizar en el tema de la regresión, haga clic aquí para acceder a una actividad que le permitirá reforzar las nociones adquiridas sobre el tema de la interpolación.

La regresión lineal consiste en conseguir una recta que se ajuste de manera muy aproximada a una cierta distribución de puntos. En este contexto «el procedimiento más objetivo para ajustar en un diagrama de dispersión se conoce como el método de los mínimos cuadrados» (Chapra y Canale, 2007).

Mínimos cuadrados

El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajustar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por los puntos:

Haga clic aquí para ver el desarrollo de este método de manera detallada.

Anteriormente se desarrolló un proceso para obtener la ecuación de una recta de regresión por medio del método de mínimos cuadrados. Pues bien, este proceso se puede extender fácilmente para ajustar los datos con un polinomio de grado superior. Haga clic sobre los enlaces para ver cómo realizar este procedimiento.

• Regresión cuadrática.
• Regresión de orden mayor.

En el aplicativo que aparece en pantalla podrá ingresar distintos tipos de datos para realizar el proceso de regresión que prefiera: lineal, polinómica, exponencial o logarítmica (aunque estas dos últimas no son tema de estudio de esta unidad).

Tras revisar el aplicativo propuesto se sugiere realizar las siguientes actividades de aprendizaje:

Actividades de aprendizaje

Con el propósito de repasar los conceptos estudiados hasta este punto y de practicar el cálculo de polinomios de regresión, se sugiere realizar las siguientes actividades: Nociones básicas de regresión. Cálculo de un polinomio de regresión.

Material de apoyo

En esta unidad se ofreció un acercamiento a las nociones de interpolación y regresión.

Sobre la interpolación se estudiaron dos de los métodos más populares, el de Lagrange y el de Newton. En el primero, se hizo un estudio de la interpolación lineal permitiendo así realizar una extensión a la interpolación de grado mayor. En este caso, las fórmulas obtenidas fueron producto de la extensión del estudio realizado a partir de la regresión lineal.

En el caso del método de interpolación de Newton se procedió de manera similar, pues se comenzó con el estudio de la interpolación lineal y se prosiguió con el estudio de la interpolación cuadrática y la polinómica. Además se presentó un método diferente para la obtención del polinomio de interpolación.

En cuanto a la regresión, se trabajó la regresión lineal de manera general y a partir de esta se extendió para la regresión polinómica. Estos dos procedimientos se describieron de manera detallada al punto de obtener las fórmulas de manera concreta.

En esta unidad se presentaron aplicativos desarrollados en el software Geogebra con el fin de que los estudiantes realizaran diversos tipos de cálculos por sí mismos.