Tipos de interpolación del método de Lagrange

Joseph-Louis Lagrange descubrió que el polinomio mencionado anteriormente se puede encontrar usando un método diferente, si se describe:

y={{P}_{1}}\left( x \right)={{y}_{0}}\frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{0}}-{{x}_{1}}}+{{y}_{1}}\frac{x-{{x}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}}=\underset{k=0}{\overset{1}{\mathop \sum }}\,{{y}_{k}}{{L}_{1,k}}\left( x \right)

Siendo:

{{L}_{1,0}}\left( x \right)=\frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{0}}-{{x}_{1}}} y {{L}_{1,1}}\left( x \right)=\frac{x-{{x}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}}

Los polinomios coeficientes de Lagrange para los puntos x₀ y x₁.

Dado que cada sumando de P₁ (x) es un término lineal, entonces el polinomio será de grado ≤1.

Se tiene entonces que: {{L}_{1,0}}\left( {{x}_{0}} \right)=1,~{{L}_{1,1}}\left( {{x}_{0}} \right)=0,~{{L}_{1,0}}\left( {{x}_{1}} \right)=0,~{{L}_{1,1}}\left( {{x}_{1}} \right)=1, lo cual permite afirmar que P₁ (x) también pasa por los puntos dados.

Si en lugar de dos, se cuenta con tres puntos: \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right), \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) y \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right) se hace posible extender el método mencionado anteriormente de tal manera que se pueda obtener un polinomio de grado dos; así, el polinomio interpolador cuadrático es de la forma:

y={{P}_{2}}\left( x \right)={{y}_{0}}\frac{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}{\left( {{x}_{0}}-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}_{0}}-{{x}_{2}} \right)}+{{y}_{1}}\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}+{{y}_{2}}\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)}{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}
y={{P}_{2}}\left( x \right)=\underset{k=0}{\overset{2}{\mathop \sum }}\,{{y}_{k}}{{L}_{2,k}}\left( x \right)

Si la cantidad de puntos conocidos se sigue extendiendo, el método de interpolación mencionado anteriormente también se extiende. Generalizando entonces, si se requiere construir un polinomio P_N (x) de grado ≤N que pase por N+1 puntos diferentes: \left( {{x}_{0}},~{{y}_{0}} \right),~\left( {{x}_{1}},~{{y}_{1}} \right),~\left( {{x}_{2}},~{{y}_{2}} \right)\ldots \left( {{x}_{N}},~{{y}_{N}} \right), se obtiene la fórmula:

y={{P}_{N}}\left( x \right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathop \sum }}\,{{y}_{k}}{{L}_{N,k}}\left( x \right)

Donde {{L}_{N,k}} es el polinomio coeficiente de Lagrange para los puntos {{x}_{0}},~{{x}_{1}},~{{x}_{2}},~\ldots ,{{x}_{N}} que se define como:

{{L}_{N,k}}\left( x \right)=\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\ldots \left( x-{{x}_{k-1}} \right)\left( x-{{x}_{k+1}} \right)\ldots \left( x-{{x}_{N}} \right)}{\left( {{x}_{k}}-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}_{k}}-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}_{k}}-{{x}_{2}} \right)\ldots \left( {{x}_{k}}-{{x}_{k-1}} \right)\left( {{x}_{k}}-{{x}_{k+1}} \right)\ldots \left( {{x}_{k}}-{{x}_{N}} \right)}

{{L}_{N,k}}\left( x \right)=\frac{\mathop{\prod }_{j=0,j\ne k}^{N}\left( x-{{x}_{j}} \right)}{\mathop{\prod }_{j=0,j\ne k}^{N}\left( {{x}_{k}}-{{x}_{j}} \right)}=\underset{\begin{matrix} j=0,j\ne k \\ {} \\ \end{matrix}}{\overset{N}{\mathop \prod }}\,\frac{\left( x-{{x}_{j}} \right)}{\left( {{x}_{k}}-{{x}_{j}} \right)}

Para cada valor k fijo el polinomio coeficiente de Lagrange {{L}_{N,k}}\left( x \right) tiene la siguiente propiedad, al igual que en los casos anteriores:

{{L}_{N,k}}\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 1,~~~~~x={{x}_{k}}~~~~~~~~~~~ \\ 0,~~~~~x={{x}_{j}},~j\ne k \\ \end{matrix} \right.

Haciendo uso de esta propiedad se puede comprobar que, efectivamente, la curva y=P_N (x) pasa por cada uno de los puntos \left( {{x}_{j}},~{{y}_{j}} \right).

De esta manera se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange de grado N para una cantidad de N+1 puntos.