Introducción

En ámbitos como el ingenieril se usan herramientas que contribuyan con el análisis de aplicaciones que, por medio de su modelo, puedan ser representadas matemáticamente. Es por esto que en esta unidad se abordará el estudio de funciones en tiempo continuo y tiempo discreto, las cuales llevan a obtener métodos de análisis matemáticos que permiten tener más recursos en diferentes aplicaciones como: sistemas digitales, sistemas de comunicaciones, sistemas físicos, etc.

Esta diferencia se evidencia partiendo de las series de Fourier y sus representaciones, que son una alternativa para el análisis de funciones periódicas, no solo en el domino del tiempo sino en el domino de la frecuencia.

De igual manera se determinará la transformada de Fourier, la cual representa el estudio de funciones que no definen un periodo específico y, por último, se analizará la transformada Z, la cual facilita el desarrollo de las aplicaciones a nivel matemático.

Propósitos de aprendizaje

Propósito general

Definir las propiedades de las series de Fourier, la transformada de Fourier y la transformada Z de una función, comprendiendo su utilidad en el proceso de descomposición y análisis de sus principales componentes.

Propósitos específicos

  • Representar diferentes tipos de funciones empleando las series de Fourier.
  • Definir la transformada de Fourier de una función, identificando sus propiedades y comportamiento con base en diferentes señales pertenecientes al dominio del tiempo continuo y discreto.
  • Reconocer la aplicabilidad de la transformada Z en señales de tipo discreto y su relación con la transformada de Laplace.

Series de Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue un matemático francés y fue el primero en presentar los conceptos de series de Fourier y transformada de Fourier a mediados de 1800, aunque sus aportes no fueron tenidos en cuenta por la comunidad científica hasta 1822.

Casi un siglo después, su teorema —que parte del concepto de las funciones periódicas— tomó fuerza debido a que empezó a utilizarse en aplicaciones importantes del área de los circuitos en el campo de la electrónica.

Las series de Fourier se definen como la representación matemática de cualquier función periódica en la sumatoria infinita de funciones sinusoidales. En otras palabras, cualquier función no sinusoidal puede ser expresada por medio de funciones sinusoidales siempre y cuando tenga un periodo definido.

Series de Fourier

Forma trigonométrica de la serie de Fourier

De acuerdo con los estudios de Fourier, se plantea por medio de su definición que toda función periódica, o función definida por intervalos, puede expresarse como la suma infinita de funciones seno o coseno como múltiplos fundamentales de la frecuencia, es decir que la serie se puede representar de la siguiente manera:

f\left( t \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}cos{{\omega }_{0}}t+{{b}_{1}}sen{{\omega }_{0}}t+{{a}_{2}}cos2{{\omega }_{0}}t \\ +{{b}_{2}}sen2{{\omega }_{0}}t+{{a}_{3}}cos3{{\omega }_{0}}t+{{b}_{3}}sen3{{\omega }_{0}}t...

Entonces, la serie se puede expresar como:

f\left( t \right)={{a}_{0}}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}\text{cos}\left( n{{\omega }_{0}} \right)+{{b}_{n}}sen\left( n{{\omega }_{0}}t \right)

Teniendo en cuenta que en la serie trigonométrica de Fourier ω0 se define como la frecuencia fundamental y se expresa en radianes por segundo.

Haga clic sobre el primer enlace para conocer los coeficientes de Fourier y sobre el segundo, para ver dos ejemplos de su uso.

Simetría par e impar

Con el fin de facilitar los cálculos representados por medio de las series de Fourier existe una forma para poder encontrar y evaluar los coeficientes. Este recuso matemático se fundamenta en la simetría par y la simetría impar de cualquier función.

Actividad de aprendizaje

Actividad de Aprendizaje

Le invitamos a hacer clic sobre el primer enlace para acceder a la explicación de este concepto y sobre el segundo enlace para acceder a una actividad de aprendizaje que le permitirá reforzar los conocimientos adquiridos.

Series de Fourier

Forma compleja de la serie de Fourier

Reducir la serie trigonométrica de Fourier a la serie compleja permite manejar algunas aplicaciones que requieren de este tipo de representaciones, las cuales utilizan los términos exponenciales complejos como:{ e }^{ { \pm jn\omega }_{ 0 }t } . Entonces, de acuerdo con esta definición, si la serie trigonométrica es definida como:

f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,({{a}_{n}}cos\left( n{{\omega }_{0}}t \right)+{{b}_{n}}sen\left( n{{\omega }_{0}}t \right))

Se pueden expresar los términos de seno y coseno como:

f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( {{a}_{n}}\left( \frac{{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}+{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}~~}{2} \right)+{{b}_{n}}\left( \frac{{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}-{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}}{2j} \right) \right)

Haga clic sobre el enlace para ver el desarrollo de esta expresión y un ejemplo.

Transformada de Fourier

La principal característica de la transformada de Fourier es su representación en sistemas o señales en donde la función dada no es periódica, lo cual facilita el análisis y la viabilidad matemática de dicho análisis. Si bien, muchas transformadas conocidas matemáticamente restringen diferentes sistemas en el dominio del tiempo, la transformada de Fourier permite analizar las funciones matemáticas desde -∞ hasta ∞.

Transformada de Fourier

La expresión:


Es conocida como la transformada de Fourier. Haga clic sobre el enlace para conocer la forma compleja de esta expresión.

Haga clic sobre el enlace para ver dos ejemplos de aplicación de esta transformada.

Integral de Fourier

La integral de Fourier ofrece un forma para analizar funciones que no son periódicas.

Si se tiene una función periódica f(t) con periodo T, y se hace que el periodo tienda al infinito, se elimina la condición de periodicidad de la función:


Haga clic sobre el enlace para acceder a la explicación de este concepto.

Transformada de Fourier

Transformada inversa de Fourier

La transformada de Fourier cuenta con propiedades de continuidad que permiten extender el espacio de funciones grandes a extensiones de funciones generalizadas. La transformada inversa se relaciona por medio de estas propiedades y de la integral conocida como integral de contorno, que permite pasar de una función F(ω) a una función f(t).

Tabla de transformadas

La tabla de transformadas es una herramienta que muestra la transformada de diferentes funciones y permite analizarlas de una manera más sencilla. Algunas de las funciones que contiene son frecuentemente utilizadas y facilitan los cálculos de diversos desarrollos matemáticos.

Haga clic sobre el enlace para acceder a la tabla de transformadas.

Transformada de Fourier

Propiedades de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier es muy útil para solucionar ecuaciones diferenciales. Con base en este tipo de soluciones, enfocadas en ingeniería, se hace posible utilizar diferentes propiedades que se relacionan con los parámetros de linealidad, traslación en el dominio del tiempo y traslación en el domino de la frecuencia.

En la siguiente interactividad se muestran algunas de las propiedades de la transformada de Fourier y sus respectivos ejemplos, los cuales facilitarán su aplicación y futuro uso.

Propiedades de la transformada de Fourier

Haga clic sobre el enlace para conocer las propiedades de la transformada de Fourier.

Transformada Z

La transformada Z se presenta en muchas aplicaciones para el análisis de sistemas discretos y se deriva de las series de Laurent, su principal función es convertir una función del dominio de tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia de variable compleja.

Cuando se relacionan señales se dice que la trasformada Z es en tiempo discreto, lo que la trasformada de Laplace es en tiempo continuo.

Una de las ventajas de la transformada Z es que sus propiedades son similares a las de la transformada de Laplace y debido a su analogía por medio de estas propiedades, las cuales cumplen funciones similares, la transformada Z también puede ser desarrollada por medio de métodos algebraicos que facilitan su solución y la hacen una herramienta apropiada para muchas aplicaciones ingenieriles.

Definición de la transformada Z


Haga clic sobre el enlace para profundizar en el estudio de esta definición.

Transformada Z

Región de convergencia

La región de convergencia, también llamada ROC, describe la región para la que la serie que define la transformada Z es convergente. En tal sentido, la gráfica que aparece en pantalla define la región de convergencia de la transformada de las secuencias.

La ROC de la transformada ZX(Z) determina la naturaleza de la señal x[n], cuando:

  • x[n] de longitud finita: la ROC de X(Z) es todo el plano z con una posible excepción para: z=0 y z=∞.
  • x[n] unilateral derecha: la ROC es la región externa del círculo cuyo radio es igual a la magnitud del polo más grande.
  • x[n] unilateral izquierda: la ROC de X(Z) es la región interior de un círculo cuyo radio tiene la magnitud del polo más pequeño.
  • x[n] bilateral: la ROC de X(Z) es un anillo acotado por los radios definidos por los polos mayor y menor.
La región de convergencia diferencia la transformada de las señales. Si una transformada no especifica la ROC, se supondrá que es unilateral derecha. Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo de definición de una ROC.

Material de
apoyo

Transformada Z

Transformada Z inversa

La transformada Z inversa busca obtener x[n], cuando se tiene X(z). Entonces se define como:


Para comprender de manera más clara este concepto consulte la tabla de transformadas inversas que encontrará haciendo clic sobre el enlace.

Transformada unilateral

La transformada unilateral es muy útil cuando se analizan sistemas LTI causales; es decir, si la función x[n] está multiplicada por u[n]. Entonces, por definición se tiene que:


Haga clic sobre el siguiente enlace para ver una nueva tabla en la que se relacionan transformadas que servirán como parámetro para aplicaciones con transformadas Z.

Una vez revisada y estudiada la tabla, analice los ejemplos que se presentan haciendo clic aquí.

Resumen

En esta unidad se expusieron varias representaciones matemáticas, como las series de Fourier, la transformada de Fourier y la transformada Z, que son herramientas de gran utilidad en diferentes ámbitos de las matemáticas y la ingeniería. Para las series de Fourier se definió cada uno de los parámetros empleados en su contexto matemático, como los coeficientes de Fourier y los armónicos.

Teniendo en cuenta varias aplicaciones del campo de las telecomunicaciones como el análisis de señales y los sistemas digitales, en donde la información es de gran importancia, se abordó el concepto de serie compleja brindando otra alternativa para el desarrollo matemático de las series de Fourier.

Se estudió la transformada de Fourier analizando diferentes propiedades y relacionando ejemplos que le permitan al estudiante solucionar diferentes tipos de ejercicios.

Finalmente y con el fin de abordar el análisis de diferentes funciones, no solo en tiempo continuo, se empleó la representación matemática de la transformada Z en tiempo discreto, analizando diferentes propiedades, mostrando ejemplos para un mayor entendimiento y teniendo en cuenta las ecuaciones dadas para las transformadas Z unilateral y bilateral.

Bibliografía ()

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Referencias Web