A la pregunta ¿qué se estudia en las Matemáticas?, la respuesta más común será “números”, esto se debe en gran parte a la importancia de los números en la vida cotidiana, las ciencias y las artes, en general.

A este hecho no escapan las ciencias económicas en las que la importancia del estudio de los conjuntos numéricos se relaciona con el desarrollo de diferentes modelos que permiten optimizar procesos económicos y hacer predicciones en valores volátiles.

Es así como el desarrollo numérico, junto con las herramientas del cálculo y la estadística, se hacen esenciales para estudios de cualquier economista, contador o administrador. La economía tiene un carácter cuantitativo, lo que exalta la fuerte relación con la ciencia mencionada anteriormente y de ahí la necesidad de conocer con profundidad las temáticas que a partir de esta unidad se tratan.

Propósito general

Retomar conocimientos matemáticos básicos de la Aritmética, que han de servir como herramienta indispensable en el desarrollo y comprensión de las Matemáticas de cursos superiores.

Propósitos específicos

• Caracterizar los conjuntos numéricos racionales y reales utilizando propiedades demostradas.
• Identificar los conjuntos numéricos, las operaciones definidas entre estos y su aplicación en la solución de problemas en contexto.
• Solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas para dar solución a situaciones problema en contexto.

Un conjunto es la agrupación de elementos que tienen unas características en común, al referirnos a conjuntos numéricos implica que las características que se cumplen son propiedades y los elementos son valores numéricos establecidos.

El conjunto numérico más conocido y también más utilizado es el de los números reales, conformado por la unión del conjunto de los irracionales y los racionales.

En esta unidad encontrará las propiedades que cumplen los números reales, haciendo énfasis en el subconjunto de los números racionales. de igual forma,se utilizaran dichas propiedades como base teórica para justificar la solución de ecuaciones de primer y segundo grado.

Material de apoyo

Los números racionales (\mathbb{Q}). Al construir la recta numérica se hacen presentes diferentes conjuntos de números. En primer lugar, encontramos los números naturales (\mathbb{N}), que son aquellos con los que podemos contar objetos.

Para obtener la propiedad de inversos aditivos aparecen los números negativos como complemento a los números naturales y estos, junto con el cero, conforman el conjunto de los números enteros (\mathbb{Z}). En estos términos, el conjunto numérico estaría conformado por los números enteros, en donde se plantea a los naturales como subconjunto.

De esta manera, y con el fin de añadir una nueva propiedad al conjunto numérico que se estaba creando, se conforma el conjunto de los números racionales (\mathbb{Q}) que son los inversos multiplicativos. Esta sería la representación del conjunto numérico.

La representación algebraica de los números racionales son las fracciones, es decir, números de la forma \frac{a}{b}, en donde b\ne 0 y a,b\in \mathbb{Z}. El número a se llama numerador, b se llama denominador y la línea se llama vínculo.

Las fracciones pueden ser números con decimales finitos o decimales periódicos. En una expresión decimal, el grupo de números que se repiten sucesivamente en la parte decimal se llama periodo. Si el periodo es cero (0) el número se denomina decimal finito. Si el periodo es diferente de cero (0) el número se llama decimal periódico. Revise un ejemplo de fracciones dentro de la Ampliación temática.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de un todo. Para saber si dos fracciones son equivalentes se pueden realizar dos procedimientos: simplificación o ampliación. Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural, diferente de cero, se pueden obtener fracciones equivalentes, este proceso se denomina complicación o amplificación. Revise los siguientes ejemplos.

Operaciones con números racionales en forma de fracción

Con los elementos de los números racionales se puede realizar diferentes operaciones, entre estas las que se conocen como básicas: suma, resta, multiplicación y división, para las cuales los algoritmos resultan un poco alterados por la forma de fraccionario.

Le invitamos a ampliar los conocimientos sobre estas operaciones.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad sobre fracciones en Geogebra, donde podrá repasar algunos conceptos vistos.

Además de los decimales periódicos y finitos que se pueden escribir como fracción, existen decimales no periódicos que son aquellos que no se pueden escribir como fracción, por ejemplo:

\sqrt{2}=1,414213562 ...

\pi =3,141592654 ...

Estos números se llaman números irracionales ({\mathbb{Q}}') y es un conjunto disyunto a los racionales. La unión del conjunto de los irracionales y los racionales se llama números reales (\mathbb{R}).

De este modo, se termina de llenar la recta numérica y se obtiene la densidad de los reales.

Veamos las propiedades de los números reales.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad de aprendizaje donde podrá hacer uso de la cálculadora para resolver un ejercicio con las propiedades de los número reales.

Un tipo de ecuación es la lineal o de primer grado, tiene la forma ax+b=0, con a,b\in \mathbb{R}, a\ne 0 y x es la incógnita por determinar con la ayuda de las propiedades de los números reales. Esta ecuación y las subtemáticas que se tratan a continuación se aplican en el momento de modelar la función lineal, haciendo uso de ecuaciones como la punto-pendiente para obtener gráficas lineales.

Ecuaciones de la forma ax + b = 0

Para comprender mejor estas ecuaciones veamos algunos ejemplos.

Ecuaciones racionales

Son ecuaciones que tienen la variable en el denominador.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad de aprendizaje donde podrá despejar ecuaciones lineales y ver la gráfica respectiva en Geogebra.

Es una ecuación que tiene la forma:

a{{x}^{2}}+bx+c-0, con a,b,c\in \mathbb{R} y a\ne 0

y su representación gráfica corresponde a la parábola.

En este punto, es importante recordar el teorema del Factor Cero.

Conozca las diferentes formas de solucionar las ecuaciones cuadráticas.

Discriminante

Se llama discriminante a la expresión {{b}^{2}}-4ac su valor determina las características de la cantidad de soluciones de la ecuación cuadrática:

• Si {{b}^{2}}-4ac<0, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.
• Si {{b}^{2}}-4ac=0, la ecuación cuadrática tiene una solución real.
• Si {{b}^{2}}-4ac=0, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.

Revise los siguientes ejemplos de discriminante.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar las siguientes actividades relacionadas con la factorización de ecuaciones cuadráticas en Geogebra y el uso del discriminante a través de un video test.

En esta unidad vimos un recorrido rápido por los conjuntos numéricos naturales y enteros, centrándonos en el tratamiento que deben recibir los números fraccionarios: forma de operarlos, amplificarlos y simplificarlos para disminuir la probabilidad de error en los cálculos con racionales, se planteó una actividad de apoyo (calculadora) para reescribir números decimales a fracción y viceversa.

Al complementar el conjunto de los números racionales con los irracionales y así formar los reales, se presentaron sus propiedades y un material de apoyo que permite a cada estudiante ejercitar propiedades de orden entre números reales.

Después de conocer el conjunto numérico se procedió a aplicar sus propiedades para la solución de ecuaciones lineales, en primera instancia, mostrando el procedimiento riguroso que se debe seguir para despejar una incógnita, haciendo uso de situaciones problema en algunas ocasiones.

Finalmente, se abordaron las ecuaciones de segundo grado, explicando las diferentes formas en las que se pueden solucionar, haciendo uso de la factorización (especificando los casos y su solución) o la fórmula general, al igual que la utilidad del discriminante.