El cálculo integral en la Economía y Ciencias Administrativas es la base del estudio del análisis de funciones de costo marginal, ingreso total y tasas de cambio. Adicionalmente, la programación lineal que le permitirá al estudiante tomar y aplicar los conceptos de minimización de costos y maximización de ganancias.

En el cálculo integral, el concepto matemático inicia buscando el límite de una suma de términos que crecen indefinidamente y el valor numérico de cada término se aproxima a cero, en estas condiciones, el concepto de integral, es básicamente la forma de evaluar el área mediante el mencionado límite de un número indefinido de partes infinitamente pequeñas; ésta es la aplicación del ingreso total que se estima a partir del área bajo la curva del ingreso marginal.

Durante el curso, se aprenderán varios conceptos como el de anti-derivada, así como las técnicas que permitirán conseguir las funciones primitivas u originales de las funciones que se desee estudiar.

Se presentarán conceptos teóricos básicos, las fórmulas fundamentales de integración, el método de sustitución, la integración por partes, las integrales racionales e integrales trigonométricas. Con lo anterior, se busca complementar los conocimientos teóricos desarrollando ejercicios prácticos.

Objetivo general

Aplicar los métodos de integración en la solución de problemas, donde se hace necesario tener en cuenta los costos e ingresos como variables de integración.

Objetivos específicos

• Analizar la naturaleza de la integral y los métodos de integración.

• Desarrollar las reglas de integración.

• Aplicar los métodos de integración en la solución de problemas de costos y tasas.

Durante el desarrollo de la unidad, se explicará la integral como una anti-derivada, la cual es necesaria para comprender el cálculo de áreas, algunas sumas en intervalos determinados y en métodos más avanzados para el cálculo de volúmenes o sólidos de revolución.

Al hablar de cálculo, se hace imprescindible discernir sobre Newton, quien comenzó a aplicar el cálculo en la solución de problemas que se presentaban en la vida cotidiana; por ejemplo, identificó fuerzas en un sistema determinado mediante su segunda ley propuesta. Por la segunda ley de Newton se tiene que:

F = ma = mg = -KV²

Al determinar a = V'(t), se tiene la ecuación diferencial:

F = mv' (t) = mg = KV² (t)

Ahora bien si mv' (t) = mg quiere decir que:

v'(t)= g

Para poder entender la relación v'(t)= g, se debe crear una función F(x) de tal forma que:

F(x) = g

Donde g es la gravedad.

A esta función F se le llama antiderivada, que representa el área bajo una curva, la cual es importante graficar.

Lectura complementaria

Como en la derivada se resta uno en el exponente, en la antiderivada se debe sumar uno al exponente, en cualquier función y dividido sobre el exponente más uno.

a es una constante que asume el valor dado en el ejercicio.

Para hacer uso de la simulación, sustituya cualquier número n por la letra “a” y obtendrá el resultado de la integral deseada.

Lectura complementaria

Las fórmulas de integración son algoritmos procedimentales que asocian los problemas planteados a un método planteado, que cumple los requisitos de igualdad entre el problema y la fórmula; de esta manera, se puede encontrar una solución eficaz a muchos de los ejercicios planteados en la unidad.

Las fórmulas en el cálculo de integrales son efectivas porque hacen que todo sea más sencillo. Por ello, la idea de establecer algunas fórmulas ya dadas para la integración es conocer y saber aplicarlas en la solución de problemas.

Con lo anterior, se hace necesario comprender las fórmulas para las integrales indefinidas inmediatas. Sin embargo, en las fórmulas antes mencionadas, se utilizan funciones trigonométricas que se citan para saber su existencia, pero que no se trabajarán debido a su enfoque.

Lectura complementaria

Los métodos de integración son utilizados para hallar la función original de la cual se ha extraído sus derivadas y para determinar las integrales que no se pueden hallar de forma inmediata. Existen tres métodos:

• Método de sustitución: proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrado es el resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.

• Método de integración por partes: en la integración por partes, se combina la derivación y la integración, demostrando de nuevo que una es la operación inversa de la otra, pero que se encuentran estrechamente relacionadas.

• Método de fracciones parciales: aquí se encuentra cómo integrar cualquier función racional algebraica expresándola como una suma de fracciones más simples llamadas parciales.

Para resolver algunas integrales indefinidas, es necesario revisar el teorema fundamental del cálculo que proporciona un proceso abreviado para el cálculo de integrales definidas.

El teorema fundamental del cálculo unifica los estudios de las derivadas y las integrales, mostrando que la derivada y la integral son operaciones de procesos inversos. En este sentido, el teorema es fundamental para el cálculo como disciplina coherente.

Lectura complementaria

En esta sección se combina la derivación y la integración, mostrando nuevamente la estrecha pero inversa relación entre ambas operaciones.

La regla de derivación de un producto de dos funciones d/dx(f(x)g(x))=f´(x)*g(x)+f(x)*g´(x), tiene su correspondiente regla de integración:

integrando:

La anterior ecuación es la denominada integración por partes:

De click aquí y conozca algunos ejemplos y ejercicios sobre la integración por partes.

Para las fracciones parciales debe recordarse la factorización. (Por favor revise los casos vistos en Matemáticas I y II).

Con los ejemplos, se ilustran las técnicas algebraicas que permiten calcular constantes en los numeradores de casos de integrales fraccionarias.

"Se definen las fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial, el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma

Donde:

• P(x) y Q(x) son polinomios.

• El grado de P(x) es menor que el de Q(x)." ¹

Los factores cuadráticos se usan para obtener raíces de polinomios de una forma fácil siguiendo un patrón. Cuando el problema a desarrollar presenta factores cuadráticos, el numerador de la fracción correspondiente a la parte cuadrática se debe notar de la forma Cx+D.

Para aclarar los factores cuadráticos, es necesario ver el desarrollo de las ecuaciones referentes que ilustran el procedimiento a desarrollar.

En el transcurso de la unidad, se presentaron temas fundamentales para el desarrollo de las integrales. Mediante la aplicación de los métodos de integración se puede maximizar utilidades, estimar gastos totales, calcular riesgos de ocurrencia a través de las áreas bajo la curva, las cuales son el concepto de integral.

Se expusieron temas significativos como el teorema fundamental del cálculo, la integral como antiderivada; las fórmulas de integración; los métodos de integración y sus aplicaciones; y diversos ejemplos y ejercicios referentes al tema de integrales.