Las funciones multivariadas permiten explicar el comportamiento de variables de carácter económico que dependen de más de dos variables. Gracias a ellas es posible afirmar y demostrar, por ejemplo, que la producción de las empresas depende principalmente de dos factores: trabajo o mano de obra y capital físico.

Teniendo presentes las funciones multivariadas es posible establecer operadores entre ellas, como las derivadas parciales. Estas permiten observar variaciones de una función frente a variaciones de sus variables dependientes, caso similar a la derivada ordinaria.

Gracias a este tipo de funciones es posible entender determinados fenómenos económicos.

Objetivo general

Aprender los conceptos básicos del cálculo multivariado que favorezcan la interpretación, formulación y resolución de problemas que involucren conceptos económicos.

Objetivos específicos

• Aplicar las herramientas del calculo multivariado en la solución de problemas de optimización.

• Clasificar los valores óptimos de una función en varias variables.

• Presentar apropiadamente modelos que evidencien su capacidad para solucionar problemas.

Existen casos en los que para resolver un problema se cuenta con dos variables independientes y la combinación de estas produce una tercera variable, la cual depende de los valores de las dos primeras. A estas funciones se les denomina funciones en dos variables y se denotan así: z=f(x, y). Haga clic sobre el enlace para recordar la definición de los conceptos función y función multivariada.

Existen funciones que permiten explicar fenómenos propios de las ciencias económicas. Estas funciones cuentan con parámetros que pueden ser reemplazados por valores numéricos. Haga clic sobre el siguiente enlace para conocer las aplicaciones de las funciones multivariadas.

En las funciones de dos variables, las derivadas parciales representan la pendiente de la curva de intersección entre la superficie y el plano paralelo a uno de los planos z-x o z-y, según la variable con respecto a la cual se derive.

Si f(x, y) es una función de dos variables, las derivadas parciales con respecto a x y con respecto a y, se notan respectivamente como:

Haga clic sobre el enlace para ver dos ejemplos de esta afirmación.

Material de apoyo

Las principales aplicaciones de las derivadas parciales son las funciones marginales y las elasticidades.

Funciones marginales

Suponiendo una función que modela un concepto económico, su función marginal representa el cambio que tiene esta frente al incremento de una unidad en alguna variable. Esto se puede analizar empleando la derivada parcial que, al igual que la derivada usual, representa variaciones entre variables.

Elasticidades

Se pueden construir elasticidades para casi cualquier tipo de función económica, pues estas representan variaciones porcentuales de una variable dependiente frente a incrementos porcentuales de una variable independiente.

La elasticidad más frecuente se presenta cuando se analizan las funciones de demanda para inmuebles, que dependen principalmente de los precios de dos bienes en el mercado y, en algunos casos, de la renta. Haga clic sobre el enlace para ver la forma en que se clasifican las elasticidades.

Suponga una función: z=f(x, y). Dado que las derivadas parciales f_x y f_y son funciones en dos variables, pueden volverse a derivar. Este tipo de derivadas reciben el nombre de derivadas parciales de orden superior.

La optimización es uno de los procesos más comunes para buscar el máximo o el mínimo de las funciones. En las ciencias económicas se emplean para maximizar funciones de utilidad de consumidor; maximizar producción o beneficio de empresas, y para minimizar costos.

Existen dos métodos de optimización, el primero de ellos es la optimización sin restricción donde se emplea la matriz hessiana. El segundo, es la optimización con restricciones de igualdad donde se emplea el método de multiplicadores de Lagrange.

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo de este tipo de derivadas.

A partir de la función: z=f(x, y), suponga que desea encontrar los valores de x y y para los cuales la función z toma los valores más bajos o más altos posibles. Estos valores se encuentran en los valores críticos.

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo de optimización sin restricción.

Si f es una función en dos variables, la matriz hessiana se define como una matriz de derivadas parciales de segundo orden así:

Y su determinante se define por:

Como f_xy=f_yx, se tiene que:

Tomando el ejemplo anterior, la matriz hessiana corresponde a:

Y su determinante es:

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo en el que se desarrolla una matriz hessiana.

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para acceder a un ejercicio que le permitirá poner en práctica lo aprendido en hasta este punto.

El método de Lagrange permite maximizar o minimizar una función general f(x, y, z) sujeta a una restricción de la forma: g(x, y, z)=k. Así mismo, establece que se debe resolver la ecuación vectorial de la forma:

Si la función debe cumplir dos restricciones, se tienen: g(x, y, z)=k₁ y h(x, y, z)=k₂, y la ecuación toma la forma:

De manera simultánea a esta ecuación se debe resolver el sistema de ecuaciones que resultan de la ecuación vectorial y las restricciones. Haga clic sobre el enlace para conocer el procedimiento para hacerlo.

En este contexto, el método de multiplicadores de Lagrange introduce una nueva variable λ que permite solucionar el problema planteado. Haga clic sobre los enlaces para conocer los dos tipos de enfoques que este método permite darle al problema.

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre los siguientes enlaces para ver un ejemplo de aplicación de los multiplicadores de Lagrange y una actividad que le permitirá poner en práctica sus conocimientos.

Material de apoyo

La noción de función real de una variable se puede ampliar a funciones de varias variables y en particular a funciones de dos variables. Estas funciones se grafican en un sistema tridimensional y su gráfica se llama superficie.

Una función de dos variables puede tener derivadas con respecto de sus dos variables independientes. Si las variables son las primeras derivadas de f(x, y) se notan como:

f_x y f_y o ∂f/∂x y ∂f/∂y.

Para hallar las derivadas parciales de z se usa la regla de la cadena de la siguiente manera:

Como una función de dos variables se puede definir implícitamente, las derivadas parciales se pueden hallar diferenciando parcial e implícitamente. Si es una función de las variables x y y, y a su vez x y y son funciones de s y t —es decir x=x(s, t) y y=y(s, t)— entonces z se considera como una función de las variables s y t.

Las derivadas de orden superior se notan como: f_xx, f_xy, f_yx y f_yy, donde el subíndice indica el orden en que se deriva. La notación: f_yx indica que f(x, y) se derivó parcialmente primero con respecto de y, y luego se derivó parcialmente con respecto de x.