Las derivadas se consideran herramientas fundamentales en el estudio de las ciencias aplicadas, pues permiten, por ejemplo, cambiar una variable con respecto de otra. Cuando se trabaja con funciones de variable real, la derivada es una de las operaciones de mayor importancia para calcular la variación de la variable independiente con respecto de la variable dependiente en un determinado valor de la variable dependiente.

Otra propiedad importante de las derivadas es que el grado de inclinación de una recta tangente a una curva en un punto dado es igual a la pendiente de la curva en el punto de tangencia y representa la rapidez de variación instantánea de la función con respecto de la variable independiente.

Cabe anotar que si la recta tangente tiene mayor pendiente en un punto dado, la función cambia más rápido en ese punto que en puntos donde la recta tangente tiene menor pendiente.

Esta unidad está dedicada a aplicar las propiedades de las derivadas para hallar su valor en un punto establecido con anterioridad, y a explicar la forma en que se encuentra la derivada de funciones algebraicas, trascendentes, explícitas e implícitas.

Objetivo general

Identificar las propiedades de una función mediante el cálculo de la derivada.

Objetivos específicos

• Reconocer las propiedades de las derivadas.
• Aplicar las propiedades para encontrar la derivada de una función.
• Calcular derivadas de diferentes tipos de funciones.
• Determinar las características de una función aplicando la derivada.

La derivada de la función f(x) se denota con los símbolos: f´(x), y´ o dy/dx para hacer referencia a la derivada en un punto como x=2 que suele notarse como f´(2). Este valor puede ser positivo, negativo o igual a cero.

Para calcular la derivada de una función se puede aplicar la definición formal de derivada como un límite lo cual implica un proceso largo y demorado o aplicar propiedades de la derivación como: suma, producto, cociente, potencia o derivada interna, entre otras. Este proceso es más utilizado que el anterior, pues es más corto y rápido de hacer.

El primer paso para aplicar las propiedades de la derivación consiste en identificar el tipo de función a derivar y la técnica a utilizar; es decir, se bebe tener en cuenta si vamos a derivar una función implícita, explicita, algebraica, trascendente o de otro tipo. Así mismo, se debe tener en cuenta la propiedad o propiedades y técnicas para iniciar el proceso de derivación.

El movimiento rectilíneo de un objeto permite interpretar la derivada como razón de cambio, entendiendo la razón de cambio como la variación de una variable con respecto al tiempo. En este caso, la variación de la posición del objeto con respecto al tiempo.

Actividad de aprendizaje

En el siguiente enlace se presentan dos ejercicios en los que se pone en práctica el concepto de razón de cambio. Haga clic aquí para acceder al contenido.

Material de apoyo

Analice el siguiente teorema:

Como x→x₀ es la diferencia entre x y x₀, esta deberá ser una diferencia pequeña, es decir que x-x₀ tenderá a cero. Usualmente, esta diferencia es denotada por Δx. Entonces, la derivada en x₀ puede ser reescrita como:

Lo que se considera como el primer principio de la derivada.

Teniendo en cuenta que la derivada queda en términos de x es posible reconocer el hecho de que la derivada es realmente la función f´(x) que podemos leer como f prima de x.

Ejemplos

Haga clic sobre el enlace para ver cuatro ejemplos de aplicación de la derivada.

En el último ejemplo de la pantalla anterior se presentó una función en la que la derivada no existe en un punto.

Esta situación se presenta a menudo, pues no siempre existen derivadas o pueden existir en un lugar diferente al que se indica en el planteamiento inicial del ejercicio o del problema que se desea solucionar.

De hecho, la derivada de la función de valor absoluto existe en todos los puntos, excepto el que se planteó en el ejemplo: x=0, como se muestra en el gráfico de la derecha.

Teoremas de derivación y continuidad.

Para aplicar de manera correcta los anteriores teoremas se deben tener claras las siguientes definiciones:

A. f(x) está bien definida en x₀.

B. El limite de f(x) en x₀ existe.

C. f(x) es continua en x₀.

D. f(x) es diferenciable en x₀.

En el segundo ejemplo del subtema anterior se determinó la derivada de la función: y=x³-4x+3, utilizando la definición de límite. Aunque este proceso se desarrolló de forma algebraica fue muy dispendioso, particularmente cuando se hizo necesario extender el binomio: (x₁+Δx)³.

Imagine por un momento que el binomio a desarrollar hubiera sido de grado 70 o 100, es decir: (x₁+Δx)¹⁰⁰, el procedimiento hubiera requerido de mucho trabajo y mucha paciencia. Para evitar situaciones como esta, existen reglas para derivar funciones que permiten ahorrar tiempo y esfuerzo.

Para evitar situaciones como esta, existen reglas para derivar funciones que permiten ahorrar tiempo y esfuerzo. En la siguiente interactividad se explican estas reglas y sus respectivos ejemplos.

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para conocer las cinco reglas para derivar funciones y sus respectivos ejemplos.

En el estudio del cálculo, la regla de la cadena surge como uno de los métodos que mejor permite evaluar u obtener la derivada de una función compuesta. Esta regla, como tal, se combina con las otras reglas estudiadas anteriormente.

Para explicar esta regla por medio de un teorema, se puede decir que:

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo que demuestra este teorema.

Actividad de aprendizaje

Para practicar los conceptos adquiridos sobre derivación, se sugiere realizar los siguientes ejercicios.

Hasta ahora hemos utilizado un solo tipo de notación para representar una función compuesta y la correspondiente aplicación de la regla de la cadena en la obtención de su derivada. Usando la notación de Leibniz para la derivada se puede simplificar el trabajo de la siguiente manera:

Una de las aplicaciones de la regla de la cadena se evidencia cuando la expresión a derivar está escrita de forma implícita y no explícita como sucede habitualmente. Para explicar esta situación se sugiere leer el siguiente documento y, posteriormente, observar el desarrollo de dos ejemplos en los que se aplica este concepto.

Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas; por ejemplo, las funciones exponencial y logarítmica. En el caso de las funciones trascendentes, la variable independiente, que por lo general es x, figura como exponente, como índice de una raíz o se halla afectada por el operador logaritmo o por cualquiera que haga parte del estudio de la trigonometría.

Haga clic sobre los enlaces para conocer las características de las funciones exponenciales y una serie de ejemplos que demuestran estas características.

Debido a que las funciones exponencial y logarítmica son continuas en todo su dominio, también son derivables en todo su dominio. Para estas fórmulas se asume que u es una función diferenciable de la variable x. Haga clic sobre el enlace para conocer las fórmulas que permiten derivar funciones exponenciales y logarítmicas.

Para diferenciar o derivar funciones de base diferente al número de Euler, se procede de la siguiente manera:

Material de apoyo

Las derivadas de orden superior son aquellas que se obtienen tras derivar de manera sucesiva una función f(x).

Cuando se deriva por segunda vez una función de la forma y=f(x) se obtiene lo que en cálculo se conoce como la segunda derivada de f(x). Esta segunda derivada se nota como f´´(x) y se encuentra derivando y=f´(x) con respecto a la variable x. De igual manera, es posible hallar la derivada de f´´(x) que se nota como f´´´(x) y se denomina la tercera derivada de y=f(x). Haga clic sobre el enlace para ver el teorema y un ejemplo que explican este tipo de derivadas.

Si bien, la notación de la segunda y la tercera derivada de f(x) se hace con el símbolo prima, a partir de la cuarta derivada de f(x) se utilizan los números arábigos, como se muestra a continuación:

También es muy usada la notación:

Donde n indica el orden de la derivada superior.

Material de apoyo

En esta unidad se estudió la derivada definida por un límite y se demostró geométricamente que la derivada es la pendiente de la curva en un punto cualquiera, lo cual permite encontrar la ecuación de una recta tangente a la gráfica de f en un punto dado.

También se estudiaron las propiedades de las derivadas y la forma de aplicarlas para encontrar la derivada de una función sin tener que utilizar los teoremas, y se mostraron ejercicios y lecturas con el propósito de complementar los conceptos y desarrollar habilidades en los procedimientos para calcular derivadas mediante las propiedades o reglas básicas.

Se espera entonces que después de estudiar los temas propuestos en esta unidad, el estudiante comprenda de manera clara el concepto de derivada y cuente con las competencias necesarias para aplicar las propiedades de las derivadas.