Recta

Definición

La ecuación de la recta en el plano cartesiano está dada por:

y = mx + b

En donde m es la pendiente (inclinación) de la recta, b es el intercepto de la recta con el eje Y y X es cualquier número del conjunto de los números reales.

La pendiente m de una recta es la inclinación de esta o la relación entre la elevación y el corrimiento, por ejemplo:

En esta figura se muestra la interpretación gráfica del concepto de pendiente de una recta.

En la figura la pendiente de la recta l es m = \frac{-3}{7} ya que al seleccionar aleatoriamente dos puntos de la recta A y B, se tiene que, para llegar de A hasta B, hay que moverse tres unidades hacia abajo (-3) siete unidades a la derecha (7).

Matemáticamente la pendiente de una recta que pasa por los puntos A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) y B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right), está dada por:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}

Para el caso de la figura, las coordenadas de los puntos A y B son \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)=\left( -5,-2 \right) y \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)=\left( 2,-5 \right) respectivamente, por lo tanto, tenemos que:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{-5-\left( -2 \right)}{2-\left( -5 \right)}=\frac{-3}{7}

Con la definición de pendiente se hace evidente que:

m\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)={{y}_{2}}-{{y}_{1}}

Y suponiendo que conocemos solamente un punto que pertenece a la recta y su pendiente y deseamos determinar la ecuación de esta, entonces con el resultado anterior deducimos que:

m\left( x-{{x}_{1}} \right)=y-{{y}_{1}}

A partir de lo que podemos obtener:

mx-m{{x}_{1}}=y-{{y}_{1}}

mx-m{{x}_{1}}+{{y}_{1}}=y

y suponiendo que -m{{x}_{1}}+{{y}_{1}}=b., la expresión anterior es equivalente a:

y=mx+b

Ejemplo 1

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)=\left( 5,-1 \right) y \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)=\left( 0,0 \right). Además, represente la recta en el plano cartesiano.

Solución

Inicialmente debemos determinar la pendiente de la recta, esto es:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{0-\left( -1 \right)}{0-5}=\frac{1}{-5}

Ahora que conocemos el valor de la pendiente podemos establecer la ecuación de la recta, así:

mx-m{{x}_{1}}+{{y}_{1}}=y

\left( \frac{1}{-5} \right)x-\left( \left( \frac{1}{-5} \right)\times 0 \right)+0=y

-\frac{1}{5}x=y

Luego, entonces, la ecuación de la recta que pasa por los puntos \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)=\left( 5,-1 \right) y \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)=\left( 0,0 \right) es y=-\frac{1}{5}x.

Seguidamente realizamos la representación gráfica en el plano cartesiano usando los dos puntos conocidos y trazando la recta que los contiene a ambos, obteniendo así:

Representación gráfica de la recta y=-\frac{1}{5}x.

Ejemplo 2

Realice la representación gráfica de la recta cuya ecuación está dada por y=3x-4. Además, determine un par de puntos que estén contenidos en esta.

Solución

Inicialmente escogeremos aleatoriamente dos números reales, en este caso 0 y 5, ahora los sustituiremos en la ecuación y=3x-4, obteniendo:

y\left( 0 \right)=3\left( 0 \right)-4=-4 la pareja coordenada correspondiente es \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)=\left( 0,-4 \right)

y\left( 5 \right)=3\left( 5 \right)-4=11 el punto correspondiente es \left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)=\left( 5,11 \right)

Ahora, simplemente graficamos estos dos puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta que los contiene a ambos, obteniendo la siguiente representación:

En esta figura se muestra la representación gráfica de la recta\mathbf{y}=3\mathbf{x}-4.