Ejemplo 9

Hallar:

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}=\underset{0}{\overset{t}{\mathop \int }}\,{{e}^{\tau }}~2sen\left( t-\tau \right)d\tau

Para realizar la transformada tenemos en cuenta el teorema que define:

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right)*g\left( t \right) \right\}=\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}\mathcal{L}\left\{ g\left( t \right) \right\}=F\left( s \right)*G\left( s \right)

De esta manera tenemos por medio de la tabla 2, los parámetros necesarios para la transformada de una función exponencial y una función sinusoidal.

F\left( s \right)*G\left( s \right)=~\mathcal{L}\left\{ {{e}^{t}} \right\}\mathcal{L}\left\{ 2sent \right\}=\frac{1}{s-1}\frac{2}{{{s}^{2}}+1}

Su solución es:

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right)*g\left( t \right) \right\}=\frac{2}{\left( s-1)({{s}^{2}}+1 \right)}