Ejemplo 8

Para la señal de la figura 8, encuentre su transformada de la Laplace.

Figura 8. Señal cuadrada periódica.

Fuente: Software free https://www.geogebra.org/?lang=es

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Para esta señal se define una amplitud A=2 y un periodo T=2.

Definimos la señal como:

$f\left( t \right)=~\left\{ \begin{matrix} 2,~~~~0\le t\le 1 \\ 0,~~~~1\le t\le 2 \\ \end{matrix} \right.$

Entonces para encontrar su transformada tenemos:

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}=\frac{1}{1-{{e}^{-sT}}}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,{{e}^{-st}}f\left( t \right)dt

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}=\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}=\frac{1}{1-{{e}^{-sT}}}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,{{e}^{-st}}f\left( t \right)dt\left[ \underset{0}{\overset{1}{\mathop \int }}\,{{e}^{-st}}.2dt+\underset{1}{\overset{2}{\mathop \int }}\,{{e}^{-st}}.0dt \right]

La integral que se evalúa para la función cero, se expresa para que el estudiante tenga presente que las señales son analizadas en todo intervalo de tiempo.

La solución de las integrales define la transformada como:

\mathcal{L}\left\{ f\left( t \right) \right\}=\frac{2}{s\left( 1-{{e}^{-s}} \right)}