Muestreo de señal x(t) e i(t)

Una señal muestreada puede ser definida como el producto de una señal analógica x\left( t \right) y un tren periódico de impulsos i\left( t \right).

La figura 1 muestra el producto de una señal continua análoga con un tren de impulsos. Esta señal muestreada puede ser descrita en forma matemática como:

XI\left( t \right)=x\left( t \right)i\left( t \right)=x\left( t \right)\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\delta \left( t-n{{t}_{s}} \right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,x\left( n{{t}_{s}} \right)\delta \left( t-n{{t}_{s}} \right)
\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,x\left[ n \right]\delta \left( t-n{{t}_{s}} \right)

La operación de muestreo conduce a una pérdida potencial de información en la señal muestreada en forma ideal XI\left( t \right), en comparación con su contraparte analógica x\left( t \right). Cuanto más pequeño sea el intervalo de muestreo {{t}_{s}}, menor será la pérdida de información. De cualquier manera, siempre existirá una pérdida de la misma.

(Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)

Para la señal muestreada que se ve en la gráfica de la Figura 2, se considera el tren de impulsos i\left( t \right) como una señal periódica con periodo T={{t}_{s}}=\frac{1}{S} y coeficientes de Fourier I\left[ k \right]=S. Su transformada de Fourier es un tren de impulsos (en f=KS) cuyas intensidades son iguales a I\left[ k \right]=S.

I\left( f \right)=\underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,I\left[ k \right]\delta \left( f-kS \right)=S\underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\delta \left( f-kS \right)

La señal muestreada idealmente XI\left( f \right) es el producto de x\left( t \right) e i\left( t \right). Por tanto, su espectro se describe por la convolución.

XI\left( f \right)=X\left( f \right)*I\left( f \right)=X\left( f \right)*S\underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\delta \left( f-kS \right)=S\underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,X\left( f-kS \right)

El espectro {{X}_{I}}\left( f \right) está formado por el espectro X\left( f \right) y sus réplicas desplazadas o imágenes. Es periódico respecto a la frecuencia, con un periodo igual a la frecuencia de muestreo S.