Ejemplo 1

La entrada x\left( t \right)=u\left( t \right) y la respuesta al impulso a h\left( t \right) de un sistema invariante en el tiempo LTI se encuentran definidas por:

x\left( t \right)={{e}^{3t}}u\left( -t \right)~~~~~~~y~~~~~~~~h\left( t \right)=u\left( t-4 \right)

Encontrar la convolución: ~~~~~~y\left( t \right)=x\left( t \right)*h\left( t \right)

Entonces, analizando las funciones, tenemos las gráficas correspondientes a las señales indicadas.

Fuente: Software- Online GeoGebra. Recuperado de: https://www.geogebra.org/?lang=es

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En la imagen se muestra la función exponencial x\left( \tau \right) antes de ser relacionada con el u\left( -t \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ } y la función h\left( \tau \right) como parámetro inicial en 1 con la relación dada u\left( t-4 \right).

Cambiando las variables y graficando según los parámetros de convolución, obtenemos las mismas señales, indicando el cambio al dominio de \tau . Para la señal dada por la función {{e}^{3t}}u\left( -t \right),~~ el producto por el escalón determina su valor en 1 como se muestra en la figura 2.

La relación entre las dos señales x\left( \tau \right) y h\left( \tau \right) muestra que no es posible realizar un producto o convolución entre ellas, debido a que x\left( \tau \right) se cumple solo para \tau <0 y h\left( \tau \right) solo para \tau >4. Como no existen intervalos en donde las dos señales se encuentren, se dice que la convolución es igual a cero.

En la imagen se muestra como la función exponencial en x\left( \tau \right) se limita hasta 1, dado el parámetro de u\left( -t \right). Posteriormente su dominio se define en función de \tau . La función h\left( \tau \right) como parámetro inicial en 1, con la relación dada u\left( t-4 \right), en el domino de \tau .

El parámetro en función de \tau ~ para la gráfica, cuando se invierte y desplaza, muestra cómo cambia y existe mayor coincidencia para la realización de la convolución entre las señales, teniendo intervalos comunes desde t-4<0.

Teniendo en cuenta la coincidencia de las señales por medio de los parámetros de convolución tenemos que para t-4<0:

y\left( t \right)=\underset{-\infty }{\overset{t-4}{\mathop \int }}\,{{e}^{3\tau }}.\left( 1 \right)d\tau =\frac{1}{3}\left. {{e}^{3\tau }} \right]_{-\infty }^{~~t-4}
y\left( t \right)=\frac{1}{3}{{e}^{3\left( t-4 \right)}}

Como se nota, en la integral el intervalo de la convolución en donde se relacionan las dos funciones, comprende:

-\infty \le \tau \le t-4

Ahora, realizando la convolución para t-4>0, tenemos que la convolución a realizar se encuentra dada en el intervalo de ~-\infty hasta 0.

En la figura 4 se muestra cómo es posible realizar convolución, ya que las dos señales se encuentran desde menos infinito hasta cero, después de cero la convolución es igual a cero.

Por tanto, para el análisis de estas señales tenemos:

y\left( t \right)=\underset{-\infty }{\overset{0}{\mathop \int }}\,{{e}^{3\tau }}.\left( 1 \right)d\tau =\frac{1}{3}\left. {{e}^{3\tau }} \right]_{-\infty }^{~~0}=\frac{1}{3}

Es decir, que solución de la convolución entre estas señales es:

y\left( t \right)~para~t\left\langle 4~es~igual~a~\frac{1}{3}{{e}^{3\left( t-4 \right)}}~~~~~~~~~~~~~y,~~~~~~~~~y\left( t \right)~para~t \right\rangle 4~es~igual~a~\frac{1}{3}~~