Definición

La expresión F\left( \omega \right)=\mathfrak{F}\left[ f\left( t \right) \right]=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-j\omega t}}dt, se conoce como la transformada de Fourier.

Analógicamente, f\left( t \right)={{\mathfrak{F}}^{-1}}\left[ F\left( \omega \right) \right]=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,F\left( \omega \right){{e}^{j\omega t}}d\omega , se conoce como transformada inversa de Fourier.

La función F\left( \omega \right)=\mathfrak{F}\left[ f\left( t \right) \right] es, en general, compleja; se tiene:

F\left( \omega \right)=R(\omega +jX\left( \omega \right)=\left| F\left( \omega \right) \right|{{e}^{j\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left( \omega \right)}}

Donde \left| F\left( \omega \right) \right| se denomina espectro de magnitud de f\left( t \right), y \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left( \omega \right) espectro de fase de ~f\left( t \right).

Si ~f\left( t \right) es real, las partes real e imaginaria de F\left( \omega \right) son:

R\left( \omega \right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,f\left( t \right)Cos\left( \omega t \right)dt
X\left( \omega \right)=-\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,f\left( t \right)Sen\left( \omega t \right)dt

R\left( \omega \right) y X\left( \omega \right) son funciones par e impar de ω, respectivamente, es decir:

R\left( \omega \right)=R\left( -\omega \right)
X\left( \omega \right)=-X\left( -\omega \right)
\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left( -\omega \right)=-\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left( \omega \right)
F\left( -\omega \right)={{F}^{\text{*}}}\left( \omega \right)

{{F}^{\text{*}}}\left( \omega \right) Denota el conjugado complejo de F\left( \omega \right).