Si empezamos con una función periódica ~f\left( t \right) con periodo T, y se hace que el periodo T tienda al infinito, se elimina la condición de periodicidad de la función \left( \underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right) \right).
Usaremos un tren de pulsos para ilustrar el proceso.
f\left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}
~~~ 0,~~~~~~~~~~-\frac{T}{2} \textless t \textless -\frac{d}{2} \\
\\
1,~~~~~~~~~-\frac{d}{2} \textless t \textless ~~\frac{d}{2} \\
\\
0,~~~~~~~~~-\frac{d}{2} \textless t \textless \frac{T}{2} \\
\end{matrix} \right.
\frac{T}{d}=2~es~decir:T=2d
\frac{T}{d}=4~es~decir:T=4d
Figura 9. Análisis de la función para T = 2d. Esta función representa un análisis para sistemas en donde la señal no es periódica.
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Figura 10. Análisis de la función para T = 4d . Esta función representa un análisis para sistemas en donde la señal no es periódica.
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\underset{T\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)
Figura 11. Análisis de la función cuando T → ∞. Esta función representa un análisis para sistemas en donde la señal no es periódica.
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Entonces con el análisis de T para diferentes condiciones, partimos de la forma compleja de la serie de Fourier obteniendo:
f\left( t \right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{C}_{n~}}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}
{{C}_{n}}=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt
{{\omega }_{0}}=\frac{2\pi }{T}
f\left( t \right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left[ \frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt \right]{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}
\frac{1}{T}=\frac{{{\omega }_{0}}}{2\pi }
f\left( t \right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left[ \frac{1}{2\pi }\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt \right]{{\omega }_{0}}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}
Como se vio ya T\to \infty en la expresión {{\omega }_{0}}=\frac{2\pi }{T}, \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\omega }_{0}} tiende a cero.
Sea {{\omega }_{0}}=\Delta \omega, entonces si n\to \infty a medida que {{\omega }_{0}}=\Delta \omega \to 0, de tal forma que n{{\omega }_{0}}=n\Delta \omega \to \omega, entonces se tiene:
f\left( t \right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left[ \frac{1}{2\pi }\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn\Delta \omega t}}dt \right]{{e}^{jn\Delta \omega t}}\Delta \omega
En el límite, T\to \infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ } , ~ \Delta \omega \to d\omega y la sumatoria se convierte en integral (definición de sumas de Riemann), es decir la función se convierte en:
f\left( t \right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,\left[ \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-j\omega t}}dt \right]{{e}^{j\omega t}}d\omega
F\left( \omega \right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-j\omega t}}dt
