Ejemplo 5

Encontrar los espectros de frecuencia para la señal definida por medio de la función f\left( t \right) que se muestra en la figura 7, asumiendo la señal como una función periódica.

Figura 7. Señal de modulación para sistemas de comunicaciones, potencia e imágenes. Esta señal es muy conocida en diferentes áreas de la ingeniería. Es muy utilizada para sistemas de conmutación y comunicaciones.

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Entonces, para esta señal definimos por intervalos los valores representados en el tiempo:

f\left( t \right)=\left\{ \begin{matrix} A,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~para-\frac{d}{2} \textless t \textless \frac{d}{2} \\ \\ 0,~~~~~para-\frac{T}{2} \textless t \textless -\frac{d}{2},~~~\frac{d}{2} \textless t \textless \frac{T}{2} \\ \end{matrix} \right.

{{C}_{n}}=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt=\frac{A}{T}\underset{-\frac{d}{2}}{\overset{\frac{d}{2}}{\mathop \int }}\,{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt


\frac{A}{T}.\left. \frac{{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}}{-jn{{\omega }_{0}}} \right|\begin{matrix} \frac{d}{2} \\ -\frac{d}{2} \\ \end{matrix}=\frac{A}{Tn{{\omega }_{0}}}\left( \frac{{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}\frac{d}{2}}}-{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}(-\frac{d}{2)}}}}{-j} \right)=\frac{2A}{Tn{{\omega }_{0}}}\left( \frac{{{e}^{jn{{\omega }_{0}}\frac{d}{2}}}-{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}\frac{d}{2}}}}{2j} \right)


\frac{2A}{Tn{{\omega }_{0}}}~Sen\left( n{{\omega }_{0}}\frac{d}{2} \right)=\frac{2A\left( \frac{d}{2} \right)}{T}~\frac{Sen\left( n{{\omega }_{0}}\frac{d}{2} \right)}{\left( n{{\omega }_{0}}\frac{d}{2} \right)}=\frac{Ad}{T}~\frac{Sen\left( n{{\omega }_{0}}\frac{d}{2} \right)}{\left( n{{\omega }_{0}}\frac{d}{2} \right)}=\frac{Ad}{T}~\frac{Sen\left( n{{\omega }_{0}}\frac{d}{2} \right)}{\left( n{{\omega }_{0}}\frac{d}{2} \right)}


\frac{Ad}{T}~\frac{Sen\left( n\frac{2\pi }{T}\frac{d}{2} \right)}{\left( n\frac{2\pi }{T}\frac{d}{2} \right)}=\frac{Ad}{T}~\frac{Sen\left( \frac{n\pi d}{T} \right)}{\left( \frac{n\pi d}{T} \right)}

{{C}_{n}} es un real puro, por consiguiente, el espectro de fase es cero. El espectro de amplitud se obtiene graficando el {{C}_{n}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ } encontrado vs n{{\omega }_{0}}.

\omega =0,~\pm \frac{2\pi }{T},~\pm \frac{4\pi }{T},~\ldots etc.

Se deben utilizar valores específicos de d y T; consideremos, para efectos prácticos

d=\frac{1}{20}   y   T=\frac{1}{4}

{{\omega }_{0}}=\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\frac{1}{4}}=8\pi

Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando: \omega =0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\pm 8\pi ,\pm 16\pi ,\ldots

La relación \frac{d}{T}=\frac{1}{5}, así podemos calcular los valores en los que el espectro de amplitud se hace cero:

n{{\omega }_{0}}\frac{d}{2}=m\pi   ó   n\pi \frac{d}{T}=n\pi \frac{1}{5}=m\pi   con   m=\pm 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\pm 2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\pm 3,\ldots

Es decir, se hará cero cuando   \omega =\pm 5{{\omega }_{0}}=\pm 40\pi ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\pm 10{{\omega }_{0}}=\pm 80\pi ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\pm 15{{\omega }_{0}}=\pm 120\pi \ldots

El espectro se muestra en la siguiente gráfica (Morón, 2011):

Figura 8. Espectro de amplitud de la señal de modulación. En la gráfica se muestran las variaciones de acuerdo con las variaciones n en el espectro de amplitud vs. la frecuencia.

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