Ejemplo 4

Encontrar la serie compleja de Fourier para la señal diente de sierra que se muestra en la figura:

Figura 6. Señal diente de sierra. Esta señal es definida como diente de sierra y es muy utilizada para aplicaciones en el manejo de video y barrido de modulación por ancho de pulso.

(Para ampliar la imagen haga clic sobre ella)

La señal es definida por medio de la función se define como:

f\left( t \right)=\frac{A}{T}t,~~~~0 \textless t \textless T

{{C}_{n}}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,\frac{A}{T}t~{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt=\frac{A}{{{T}^{2}}}~\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,t~{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt

Entonces:

Para la solución de la integral
\frac{A}{{{T}^{2}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,t\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt

En la integral definimos \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }u=t,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }du=dt,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }dv={{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }v=\frac{-1}{jn{{\omega }_{0}}}{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}
(Integral por partes)
u\text{*}v-\int v\text{*}du)

\frac{A}{{{T}^{2}}}~\left[ \left. t.\frac{-1}{jn{{\omega }_{0}}}{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}} \right|\begin{matrix} T \\ 0 \\ \end{matrix}-\left( \frac{-1}{jn{{\omega }_{0}}} \right)\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,~{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt~ \right]

=\frac{A}{{{T}^{2}}}\left[ \frac{-T}{jn{{\omega }_{0}}}{{e}^{-jn\frac{2\pi }{T}T}}-0+\frac{1}{jn{{\omega }_{0}}}\left. \left( \frac{~{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}}{-jn{{\omega }_{0}}} \right. \right|\begin{matrix} T \\ 0 \\ \end{matrix} \right]

=\frac{A}{{{T}^{2}}}\left[ \frac{-T}{jn{{\omega }_{0}}}{{e}^{-jn2\pi }}-0+\frac{1}{{{\left( n{}^{2\pi }/{}_{T} \right)}^{2}}}\left( {{e}^{-jn2\pi }}-1 \right) \right]

Como   {{e}^{-jn2\pi }}=Cos~2n\pi -j~Sen~2n\pi =1

Entonces   {{C}_{n}}=\frac{A}{{{T}^{2}}}.\frac{-T}{jn{{\omega }_{0}}}=j\frac{A}{n{{\omega }_{0}}T}=j\frac{A}{n2\pi }   como   {{e}^{jn\frac{\pi }{2}}}=Cos~n\frac{\pi }{2}+j~Sen~n\frac{\pi }{2}=j

{{C}_{n}}=\frac{A}{n2\pi }{{e}^{jn\frac{\pi }{2}}}

En este caso {{C}_{n}} está definido para todos los n, excepto para n=0.

{{C}_{0}}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt=\frac{A}{{{T}^{2}}}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,t~dt=\frac{A}{{{T}^{2}}}\left. \frac{{{t}^{2}}}{2} \right|\begin{matrix} T \\ 0 \\ \end{matrix}=\frac{A}{{{T}^{2}}}\frac{{{T}^{2}}}{2}=\frac{A}{2}

De donde,

f\left( t \right)=\frac{A}{2}+~j\frac{A}{n2\pi }\underset{n=-\infty }{\overset{'~\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{1}{n}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}=~~\frac{A}{2}+~j\frac{A}{n2\pi }\underset{n=-\infty }{\overset{'~\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{1}{n}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}

= \frac{A}{2}+~j\frac{A}{n2\pi }\underset{n=-\infty }{\overset{'~\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{1}{n}{{e}^{j\left( n{{\omega }_{0}}t+\frac{\pi }{2} \right)}}

La notación \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }\acute{\ }\text{ }\!\!~\!\!\text{ } significa que la sumatoria solo incluye números diferentes a cero.