La transformada de Fourier
La transformada de Fourier F\left( u,v \right) \ de la imagen f\left(\ x,y\ \right)\ está definida así:
F\left( u,v \right) \ = \Im\ \left\{\ f\left(\ x,y\ \right)\ \right\}=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \iint }}\,f\left( x,y \right)\text{exp}(-2\pi i\left( ux+vy \right)dxdy
La transformada inversa de Fourier f\left(\ x,y\ \right)\ de F\left( u,v \right) \ es:
f\left(\ x,y\ \right)\ = {{\Im }^{-1}}~\left\{ F\left( u,v \right) \right\} = \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \iint }}\,F\left( u,v \right)\text{exp}(2\pi i\left( ux+vy \right)dudv
La TF en una dimensión se define como:
\Im \left\{ f\left( t \right) \right\}=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,g\left( t \right){{e}^{-i2\pi ft}}dt
Para generar la señal muestreada de la TF en una dimensión se multiplica por la función:
\overline{g}\left( t \right)=g\left( t \right)$ $\underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\delta \left( t-kT \right)
Por el teorema de convolución trasformada de Fourier del producto de dos funciones es igual a la convolución de las transformadas de Fourier de cada una de las funciones.
\hat{F}~\left\{ g\left( t \right)h\left( t \right) \right\} = \hat{F}\left\{ g\left( t \right) \right\}*\hat{F}\left\{ h\left( t \right) \right\}
Entonces, apartándose un poco de los cálculos matemáticos y demostraciones, pero sin olvidarlas, se aplicará la trasformada utilizando las funciones que poseen los lenguajes de programación para el procesamiento de imágenes, para las aplicaciones siguientes tenga en cuenta la Frecuencia de Nyquist es {{f}_{c}} = {}^{1}/{}_{2T} donde T es el periodo de muestreo de la señal. El teorema de Nyquist dice: si una señal f\left( t \right) no contiene en su representación espectral componentes en frecuencia mayores a {{f}_{c}}, la señal está completamente determinada mediante muestras espaciadas en un periodo T. El efecto de escoger el número de muestras y el periodo de muestreo de forma inadecuada produce que la señal se reconstruya de forma incorrecta.