Explicación del método de Euler mejorado

Dada la EDO:

\frac{dy}{dx}=f\left( x,y \right)

Con un valor inicial y(x₀) = y₀ y un paso h también definido por una partición equiespaciada. Así, la fórmula para x_n se mantiene, es decir:

{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+h

Y la fórmula para estimar el valor de y está determinada por:

f\left( x,y \right)

Inicialmente, se tiene que:

{{U}_{n+1}}={{y}_{n+1}}

Entonces:

{{U}_{n+1}}={{y}_{n}}+f\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)h

Teniendo en cuenta que f(x_n, y_n) será el valor de la primera pendiente, que se llamará k₁:

{{U}_{n+1}}={{y}_{n}}+h{{k}_{1}}

Ahora, de manera similar, se debe tomar una segunda pendiente a partir de la que ya se obtuvo, que sería:

{{k}_{2}}=f\left( {{x}_{n+1}},{{U}_{n+1}} \right)

Ahora, usando nuevamente la fórmula de Euler se obtiene:

{{y}_{n+1}}={{y}_{n}}+hk~

k=\frac{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}{2}

Donde k es el promedio entre las dos pendientes obtenidas con anterioridad.

Obteniendo finalmente que:

{{y}_{n+1}}={{y}_{n}}+h\left( \frac{f\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)+f\left( {{x}_{n+1}},{{U}_{n+1}} \right)}{2} \right)

Siendo:

{{U}_{n+1}}={{y}_{n}}+hf\left( {{x}_{n}}{{y}_{n}} \right)