Explicación del método de Euler

Dada la expresión:

{y}'=f\left( x,y \right), y y\left( {{x}_{0}} \right)={{y}_{0}}

Suponga que el problema tiene una única solución.

En primer lugar, se debe interpretar la EDO y'=f(x,y) como un posible campo de direcciones en el plano xy donde la condición inicial mencionada y(x₀)=y₀ es interpretada como un punto en el plano de la forma (x₀, y₀). Así, se puede aproximar el valor de y(x) a partir de la recta tangente de la función que pasa por tal punto:

y\left( x \right)\approx {{y}_{0}}+f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)

Para este resultado, se ha utilizado m=y'(x₀), por tal motivo: m=f(x₀, y₀).

Así, el valor aproximado para x₁ se determina de la siguiente manera:

y\left( {{x}_{1}} \right)\approx {{y}_{1}}={{y}_{0}}+f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)

Y ahora, a partir de este, se calcula el siguiente:

y\left( {{x}_{2}} \right)\approx {{y}_{2}}={{y}_{1}}+f\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)

También es necesario tomar la separación de los puntos x_k de tal forma que todos estén a la misma distancia con el fin de que el método sea consistente y muy acertado. Así, para cualquier valor x_n se tiene que x_n=x_(n-1)+h, obteniendo así que h=x_n-x_(n-1), y a h lo llamamos el paso del método. Finalmente, las fórmulas que determinan la solución aproximada son:

{{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+h

{{y}_{n}}={{y}_{n-1}}+f\left( {{x}_{n-1}},{{y}_{n-1}} \right)h

El método de Euler realiza la aproximación a partir de una «línea poligonal» unida por todos los puntos que se van obteniendo. Es necesario mencionar que entre más amplio sea el valor de h, es decir el paso, más evidente será el error.