Tipos de interpolación del método de Newton

Interpolación lineal

El caso más simple de interpolación es la interpolación lineal, incluso en el método de Lagrange se partió trabajando desde este, pues se trata de unir dos puntos con una línea recta. Por ejemplo:

Figura 1. Ejemplo de interpolación lineal.

En este ejemplo, x₀, x₁ son los valores conocidos, mientras que x es el valor a estimar por medio de la interpolación lineal. Para esto, se utilizan triángulos semejantes como se muestra en la figura 1, obteniendo:

\frac{y-{{y}_{o}}}{x-{{x}_{0}}}=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}}

Despejando el valor de y se obtiene:

y={{P}_{1}}\left( x \right)={{y}_{0}}+\left( \frac{{{y}_{1}}-{{y}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)

Que corresponde a la fórmula de interpolación lineal, que además es la misma obtenida en el caso del método de Lagrange.

Resulta evidente en la figura que el valor x a estimar no es muy cercano al valor real, mientras que el término:

\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}}

Además de representar la pendiente de la recta, también es una aproximación a esta por medio de diferencia dividida finita a la primera derivada. Así, entre más pequeño sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación que se dé de cierto punto a través de este.

En este orden de ideas, entre más puntos mejor será la aproximación.

Interpolación cuadrática

Como ya se mencionó, al realizar una aproximación por medio de una recta el error resultante es bastante amplio, así que para realizar una aproximación más acertada se deben usar más puntos. En este caso se muestra cómo hacerlo con tres puntos.

Al tener tres puntos como datos es posible ajustarlos por medio de un polinomio de grado dos. Para ello, una forma particularmente conveniente es la siguiente:

y={{P}_{2}}\left( x \right)={{b}_{0}}+{{b}_{1}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{b}_{2}}\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right) ( 1 )

Resolviendo, se obtiene:

y={{P}_{2}}\left( x \right)={{b}_{0}}+{{b}_{1}}x-{{b}_{1}}{{x}_{0}}+{{b}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}{{x}_{0}}{{x}_{1}}-{{b}_{2}}x{{x}_{0}}-{{b}_{2}}x{{x}_{1}} ( 2 )

Que de manera simplificada se puede escribir así:

y={{P}_{2}}\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}

Donde:

{{a}_{0}}={{b}_{0}}-{{b}_{1}}{{x}_{0}}+{{b}_{2}}{{x}_{0}}{{x}_{1}}

{{a}_{1}}={{b}_{1}}-{{b}_{2}}{{x}_{0}}-{{b}_{2}}{{x}_{1}}

{{a}_{2}}={{b}_{2}}

Al reemplazar en la ecuación (1) el valor x₀, se obtiene:

{{b}_{0}}={{y}_{0}} ( 3 )

Posteriormente, al reemplazar (3) en (1) y luego evaluando para x=x₁ el resultado que se obtiene es:

{{b}_{1}}=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}} ( 4 )

Finalmente, al reemplazar (3) y (4) en (1) y evaluar en x=x₂ se obtiene:

{{b}_{2}}=\frac{\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}-\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{0}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{0}}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{0}}}

Como sucedió en el caso de la interpolación lineal el término b₁ sigue representando la pendiente de la recta que une los puntos x₀ y x₁, y el último término b₂ (x – x₀)(x – x₁) determina la curvatura que debe tener la curva de segundo grado en la fórmula.

De esta manera se han obtenido cada uno de los términos del polinomio de interpolación de grado dos. Estos junto a los elementos de los puntos conocidos se reemplazan en (1) obteniendo así el polinomio interpolatorio de grado dos.

Este método se puede extender para una cantidad arbitraria de puntos realizando el proceso de manera iterada.

Interpolación de orden superior

Al extender los métodos lineal y cuadrático de Newton se puede establecer una generalidad para una cantidad arbitraria de N+1 puntos por medio de un polinomio de grado N.

El polinomio de grado N-ésimo es:

y={{P}_{N}}\left( x \right)={{b}_{0}}+{{b}_{1}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\ldots +{{b}_{n}}\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)\ldots \left( x-{{x}_{n}} \right) ( 1 )

Y si se realiza el mismo procedimiento que en los casos anteriores se obtienen los siguientes valores de coeficientes:

{{b}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)
{{b}_{1}}=f\left[ {{x}_{1}},{{x}_{0}} \right]
{{b}_{2}}=f\left[ {{x}_{2}},{{x}_{1}},{{x}_{0}} \right]
\vdots
{{b}_{n}}=f\left[ {{x}_{n}},{{x}_{n-1}},\ldots ,{{x}_{2}},{{x}_{1}},{{x}_{0}} \right]

En donde las evaluaciones de las funciones entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general es representada como:

f\left[ {{x}_{i}},{{x}_{j}} \right]=\frac{{{y}_{i}}-{{y}_{j}}}{{{x}_{i}}-{{x}_{j}}}

La segunda diferencia dividida finita se expresa como:

f\left[ {{x}_{i}},{{x}_{j}},{{x}_{k}} \right]=\frac{f\left[ {{x}_{i}},{{x}_{j}} \right]-f\left[ {{x}_{j}},{{x}_{k}} \right]}{{{x}_{i}}-{{x}_{k}}}

Y así, de manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

f\left[ {{x}_{n}},{{x}_{n-1}},\ldots ,~{{x}_{1}},{{x}_{0}} \right]=\frac{f\left[ {{x}_{n}},{{x}_{n-1}},~\ldots ,{{x}_{1}} \right]-f\left[ {{x}_{n-1}},{{x}_{n-2}},~\ldots ,~{{x}_{0}} \right]}{{{x}_{n}}-{{x}_{0}}}

Por medio de estas diferencias divididas se calculan los coeficientes b_k que al ser reemplazados en la ecuación (1) dan como resultado el polinomio de interpolación de Newton de grado N:

y={{P}_{N}}\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+\left( x-{{x}_{0}} \right)f\left[ {{x}_{1}},{{x}_{0}} \right]+\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)f\left[ {{x}_{2}},{{x}_{1}},{{x}_{0}} \right]+\ldots +\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)\ldots \left( x-{{x}_{n-1}} \right)f\left[ {{x}_{n}},{{x}_{n-1}},\ldots ,{{x}_{0}} \right]

Este producto se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas. Cabe resaltar que el método es recursivo, pues las diferencias divididas de orden mayor se calculan usando diferencias divididas de orden menor.

Diferencias divididas

El método de diferencias divididas es uno de los más populares, pero su notación y forma de trabajarlo suelen difíciles, por lo que es importante buscar una nueva forma de interpretarlo. Por ejemplo, sean las siguientes parejas de puntos:

\left( -1,1 \right),\left( 0,0 \right),\left( 1,1 \right),\left( 2,4 \right)

Estas parejas de puntos se corresponden con la función x², es decir que al finalizar el ejercicio este será el polinomio que debe obtenerse:

Figura 2. Interpretación de diferencias divididas.

Para obtener finalmente estos resultados:

Figura 3. Valores de diferencias divididas.

Para empezar se debe crear una matriz para poner los elementos que se han obtenido por medio de las diferencias divididas, así:

• En la primera columna, los elementos y_i.
• En la segunda, los elementos obtenidos en el primer proceso de diferencias dividas.
• En la tercera columna, los elementos obtenidos en el segundo proceso de diferencias divididas.

De manera general, se realiza el mismo proceso hasta llegar a la última secuencia de diferencias divididas, así:

Ahora, se crea un vector de términos así:

\left[ 1,\left( x-{{x}_{0}} \right),~\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right),\ldots ,\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)\ldots \left( x-{{x}_{n-1}} \right) \right]

Para este caso específico el vector de términos que se obtiene es:

\left[ 1,\left( x-\left( -1 \right) \right),\left( x-\left( -1 \right) \right)\left( x-0 \right),\left( x-\left( -1 \right) \right)\left( x-0 \right)\left( x-1 \right) \right]
\left[ 1,\left( x+1 \right),\left( x+1 \right)x,\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)x \right]
\left[ 1,x+1,{{x}^{2}}+x,{{x}^{3}}-x \right]

Ahora, se toman los elementos de la diagonal de la matriz y se construye su vector:

\left[ 1,-1,1,0 \right]

Finalmente, se calcula el producto escalar de estos dos vectores tras lo cual se obtiene:

\left[ 1,x+1,{{x}^{2}}+x,{{x}^{3}}-x \right]\cdot \left[ 1,-1,1,0 \right]

=1-\left( x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x \right)+0

~=1-x-1+{{x}^{2}}+x

Y resolviendo se obtiene como resultado final: x², que es el polinomio de interpolación que pasa por los puntos dados, como se discutió inicialmente.

Así, el polinomio de interpolación que pasa por los puntos (-1,1),(0,0),(1,1),(2,4) es:

y=P\left( x \right)={{x}^{2}}

Este mismo método se puede extender para cualquier cantidad de puntos y dado que su notación es simple y es de fácil manejo resulta una salida muy buena y práctica para encontrar un polinomio.