Regresión cuadrática

De manera similar a lo realizado para la regresión lineal, se tiene que los residuos d_n se definen como:

{{d}_{1}}={{y}_{1}}-{{y}_{1}}'

{{d}_{n}}={{y}_{n}}-{{y}_{n}}'

Donde cada elemento y_n' se define como:

y_{1}^{'}=ax_{1}^{2}+b{{x}_{1}}+c$

y_{n}^{'}=ax_{n}^{2}+b{{x}_{n}}+c$

Así, redefiniendo los residuos, se obtiene:

{{d}_{1}}={{y}_{1}}-\left( ax_{1}^{2}+b{{x}_{1}}+c \right)

{{d}_{n}}={{y}_{n}}-\left( ax_{n}^{2}+b{{x}_{n}}+c \right)

Y la sumatoria de estos al cuadrado será:

\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,d_{i}^{2}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{\left( {{y}_{i}}-y_{i}^{'} \right)}^{2}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{\left( {{y}_{i}}-\left( ax_{i}^{2}+b{{x}_{i}}+c \right) \right)}^{2}}

Donde n es la cantidad de puntos que se tienen como datos.

Ahora, el problema se resume a calcular los valores de a, b y c que minimizan la función. Este es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a, b y c, ahora, en ese orden de ideas, se llama F a la función a minimizar:

F=\sum {{\left( {{y}_{i}}-ax_{i}^{2}-b{{x}_{i}}-c \right)}^{2}}

Derivando la función respecto a a, b y c, se tiene:

\frac{dF}{dc}=2\sum \left( {{y}_{i}}-ax_{i}^{2}-b{{x}_{i}}-c \right)\left( -1 \right)=-2\sum \left( {{y}_{i}}-ax_{i}^{2}-b{{x}_{i}}-c \right)~ ( 1 )

\frac{dF}{db}=2\sum \left( {{y}_{i}}-ax_{i}^{2}-b{{x}_{i}}-c \right)\left( -{{x}_{i}} \right)=-2\sum \left( {{y}_{i}}{{x}_{i}}-ax_{i}^{3}-bx_{i}^{2}-c{{x}_{i}} \right) ( 2 )

\frac{dF}{da}=2\sum \left( {{y}_{i}}-ax_{i}^{2}-b{{x}_{i}}-c \right)\left( -x_{i}^{2} \right)=-2\sum \left( {{y}_{i}}x_{i}^{2}-ax_{i}^{4}-bx_{i}^{3}-cx_{i}^{2} \right) ( 3 )

Al reordenar las ecuaciones ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) y realizando un proceso similar al que se hizo con la regresión lineal se obtienen las siguientes ecuaciones normales:

\left\{ \begin{matrix} \bar{y}=a\overline{{{x}^{2}}}+b\bar{x}+c \\ \overline{xy}=a\overline{{{x}^{3}}}+b\overline{{{x}^{2}}}+c\bar{x} \\ \overline{{{x}^{2}}y}=a\overline{{{x}^{4}}}+b\overline{{{x}^{3}}}+c\overline{{{x}^{2}}} \\ \end{matrix} \right.

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen los valores para a, b y c, los cuales minimizan la función y permiten realizar la regresión cuadrática.

Para el conjunto de puntos dados anteriormente, el polinomio de interpolación de segundo grado se presenta en la siguiente figura:

Regresión cuadrática.