Método de Simpson 1/3

El polinomio de interpolación de grado dos que pasa por los puntos: (a,f(a)), (x_m,f(x_m)) y (b,f(b)) se representa como:

{{P}_{2}}\left( x \right)=f\left( a \right)+\frac{f\left( {{x}_{m}} \right)-f\left( a \right)}{h}\left( x-a \right)+\frac{f\left( a \right)+f\left( b \right)-2f\left( {{x}_{m}} \right)}{2{{h}^{2}}}\left( x-a \right)\left( x-{{x}_{m}} \right)

Así, si se integra el polinomio en el intervalo [a,b] el resultado será:

I=\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,{{P}_{2}}\left( x \right)dx=\frac{h}{3}\left( f\left( a \right)+4f\left( {{x}_{m}} \right)+f\left( b \right) \right)

Este método se puede extender haciendo una partición del intervalo de integración en n subintervalos.

De esta manera, si se hace una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de anchura h=\frac{b-a}{n} se obtiene la partición \left\{ {{x}_{0}},~{{x}_{1}},~{{x}_{2}},~{{x}_{3}},~\ldots ,~{{x}_{n}} \right\}, siendo x₀=a y x_n=b.

Inmediatamente se evidencia que n debe ser un número par para que efectivamente todo el intervalo [a,b] quede incluido y entonces se obtiene:

\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx=\underset{a}{\overset{{{x}_{2}}}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx+\underset{{{x}_{2}}}{\overset{{{x}_{4}}}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx+\ldots +\underset{{{x}_{n-2}}}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx

Como se puede observar, en las integrales no se incluyen los puntos: {{x}_{1}},~{{x}_{3}},~{{x}_{5}},~\ldots ,~{{x}_{n-1}}, pues estos harán el papel de punto medio en cada uno de los intervalos.

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral, se obtiene:

I=\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\approx \frac{h}{3}\left( f\left( {{x}_{0}} \right)+4f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right) \right)+\frac{h}{3}(f\left( {{x}_{2}}+4f\left( {{x}_{3}} \right)+f\left( {{x}_{4}} \right) \right)+\ldots +\frac{h}{3}\left( f\left( {{x}_{n-2}} \right)+4f\left( {{x}_{n-1}} \right)+f\left( {{x}_{n}} \right) \right)

Y de manera general se obtiene:

I=\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\approx \frac{h}{3}\left( f\left( a \right)+4Im+2P+f\left( b \right) \right)

Siendo:

Im=\underset{i=1,~impares}{\overset{n-1}{\mathop \sum }}\,f\left( {{x}_{i}} \right)=f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+f\left( {{x}_{5}} \right)+\ldots +f\left( {{x}_{n-1}} \right)

P=\underset{i=2,~pares}{\overset{n-2}{\mathop \sum }}\,f\left( {{x}_{i}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)+f\left( {{x}_{4}} \right)+f\left( {{x}_{6}} \right)+\ldots +f\left( {{x}_{n-2}} \right)