Aplicación del método del punto medio

Si f(x) es la función a integrar, la aproximación está dada por:

I=\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\approx \left( b-a \right)f\left( \frac{b+a}{2} \right)

Entonces se debe tomar una partición \left\{ {{x}_{0}},~{{x}_{1}},{{x}_{2}},~{{x}_{3}},~\ldots ,{{x}_{n}} \right\} del intervalo [a,b], siendo a=x₀ y b=x_n. La partición debe ser equiespaciada, de tal manera que: {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=h, \forall i\in \left\{ 1,~2~,~3,~\ldots ,n \right\}, y entonces, el valor de h será:

h=\frac{b-a}{n}

Y la aproximación a la integral se puede definir como:

I=\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\approx hf\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{0}}}{2} \right)+hf\left( \frac{{{x}_{2}}+{{x}_{1}}}{2} \right)+hf\left( \frac{{{x}_{3}}+{{x}_{2}}}{2} \right)+\ldots +hf\left( \frac{{{x}_{n}}+{{x}_{n-1}}}{2} \right)

I=\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\approx h\left( \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,f\left( \frac{{{x}_{i}}+{{x}_{i-1}}}{2} \right) \right)

Siendo:

h=\frac{b-a}{n}