Método del trapecio compuesto

Para aplicar este método se debe tomar una partición \left\{ {{x}_{0}},~{{x}_{1}},~{{x}_{2}},~{{x}_{3}},~\ldots ,~{{x}_{n}} \right\} del intervalo [a,b], siendo a=x₀ y b=x_n. La partición debe ser equiespaciada de tal manera que:

{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=h

\forall i\in \left\{ 1,~2~,~3,~\ldots ,n \right\}

Así, el valor de h será:

h=\frac{b-a}{n}

Ahora, si se tiene una integral definida y la partición establecida en el intervalo, se obtiene:

\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx=\underset{{{x}_{0}}}{\overset{{{x}_{1}}}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx+~\underset{{{x}_{1}}}{\overset{{{x}_{2}}}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx+\underset{{{x}_{2}}}{\overset{{{x}_{3}}}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx+\ldots +\underset{{{x}_{n-1}}}{\overset{{{x}_{n}}}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx

Y si se aplica el método simple a cada una de las integrales, se obtiene:

\underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\approx \frac{h}{2}\left( f\left( {{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{1}} \right) \right)+\frac{h}{2}\left( f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right) \right)+\ldots +\frac{h}{2}\left( f\left( {{x}_{n-1}} \right)+f\left( {{x}_{n}} \right) \right)

=\frac{h}{2}\left( f\left( {{x}_{0}} \right)+2\left( f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)+f\left( {{x}_{3}} \right)+\ldots +f\left( {{x}_{n-1}} \right) \right)+f\left( {{x}_{n}} \right) \right)

Obteniendo así la forma final del método del trapecio compuesto:

I\approx \underset{a}{\overset{b}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx\approx \frac{h}{2}\left( f\left( {{x}_{0}} \right)+2\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathop \sum }}\,f\left( {{x}_{i}} \right)+f\left( {{x}_{n}} \right) \right)

Siendo:

h=\frac{b-a}{n}

Al igual que el método del trapecio simple, el del trapecio compuesto tiene una interpretación gráfica que se representa en la siguiente figura.

Método del trapecio compuesto