Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1

La siguiente es la serie de Taylor para la función sen(x):

\underset{n=0}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{x}^{2n+1}}}{\left( 2n+1 \right)!}=x-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5!}-\frac{{{x}^{7}}}{7!}+\ldots

Tras revisar esta serie surge la inquietud ¿por qué la serie presenta valores «alternados» en potencias impares, si la función e^x presentaba todas las potencias?

Esta situación se debe a la secuencia en las derivadas de f(x)=sen(x), las cuales se repiten en un ciclo de cuatro:

Si observa con atención, las derivadas de orden par se anulan al ser evaluadas en cero, luego los términos pares se anulan también. Es así como se obtiene la serie de Taylor para la función sen(x).

Ahora piense ¿cómo debería ser la serie de Taylor para las funciones cos(x) y tan(x)?

Ejemplo 2

Las series de Taylor sirven para aproximar los valores de algunas integrales difíciles de calcular. Uno de los ejemplos clásicos de esta situación es la integral:

\int {{e}^{-{{x}^{2}}}}dx

Para resolverla se puede encontrar una serie de Taylor que represente a la función f\left( x \right)={{e}^{-{{x}^{2}}}}, pero como ya existe una serie de Taylor para e^x se reutiliza reemplazando el valor de x por -x²:

-{{x}^{2}}=\underset{n=0\text{ }\!\!~\!\!\text{ }}{\overset{\infty \text{ }\!\!~\!\!\text{ }}{\mathop \sum }}\,\frac{{{\left( -{{x}^{2}} \right)}^{n}}}{n!}=1-\frac{{{x}^{2}}}{1!}+\frac{{{x}^{4}}}{2!}-\frac{{{x}^{6}}}{3!}+\frac{{{x}^{8}}}{4!}-\frac{{{x}^{10}}}{5!}+\ldots

Y además en una serie se puede integrar término a término, es decir que:

\int {{e}^{-{{x}^{2}}}}=C+x-\frac{{{x}^{3}}}{3\cdot 1!}+\frac{{{x}^{5}}}{5\cdot 2!}-\frac{{{x}^{7}}}{7\cdot 3!}+\frac{{{x}^{9}}}{9\cdot 4!}-\frac{{{x}^{11}}}{11\cdot 5!}+\ldots

Si la integral fuera definida, el resultado obtenido sería una aproximación bastante cercana al valor:

\underset{0}{\overset{1}{\mathop \int }}\,{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx=x-\frac{{{x}^{3}}}{3\cdot 1!}+\frac{{{x}^{5}}}{5\cdot 2!}-\frac{{{x}^{7}}}{7\cdot 3!}+\frac{{{x}^{9}}}{9\cdot 4!}-\frac{{{x}^{11}}}{11\cdot 5!}+\ldots

=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\frac{1}{216}-\frac{1}{1320}+\ldots

\approx 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\frac{1}{216}-\frac{1}{1320}\approx 0.7445