Valor que debe tomar cada uno de los coeficientes c_n en las series de potencia

Si x=a a partir del segundo término, estos se anulan, pues x-a=0 dejando así claro que:

f\left( a \right)={{c}_{0}}

Ahora, ¿qué sucede al derivar f y nuevamente evaluar en a Al derivar f el resultado que se obtiene es:

{f}'\left( x \right)={{c}_{1}}+2{{c}_{2}}\left( x-a \right)+3{{c}_{3}}{{\left( x-a \right)}^{2}}+4{{c}_{4}}{{\left( x-a \right)}^{3}}+\ldots

En consecuencia, al evaluar f\text{ }\!\!'\!\!\text{ } en a el resultado que se obtiene es:

{f}'\left( a \right)={{c}_{1}}

Al repetir el proceso, encontrando la segunda derivada y evaluando en a, se tiene que:

{f}''\left( x \right)=2{{c}_{2}}+2\text{*}3{{c}_{3}}\left( x-a \right)+3\text{*}4{{c}_{4}}{{\left( x-a \right)}^{2}}+\ldots

Así, evaluando f\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\!\!'\!\!\text{ } en a, el resultado que se obtiene es:

{f}''\left( a \right)=2{{c}_{2}}=2!{{c}_{2}}

Repitiendo el proceso se obtiene:

{f}'''\left( a \right)=2\text{*}3{{c}_{3}}=3!{{c}_{3}}

Finalmente, para la calcular derivada n-ésima se tiene:

{{f}^{\left( n \right)}}\left( a \right)=n!{{c}_{n}}

Pero la pregunta se refería a cuáles debían ser los valores que toman los coeficientes c_n, entonces se despeja y se concluye que:

{{c}_{n}}=\frac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( a \right)}{n!}

Es necesario aclarar que:

0!=1 y {{f}^{\left( 0 \right)}}=f