Forma compleja de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier es una función compleja en la que —en algunas aplicaciones— su magnitud representa el espectro de amplitud y su fase, el espectro de la misma.

Entonces su forma compleja es

F\left( \omega \right)=\mathfrak{F}\left[ f\left( t \right) \right]

Por lo cual:

F\left( \omega \right)=R\left( \omega +jX\left( \omega \right) \right)=\left| F\left( \omega \right) \right|{{e}^{j\Phi \left( \omega \right)}}

Donde \left| F\left( \omega \right) \right| se denomina espectro de magnitud de f\left( t \right), y \Phi \left( \omega \right) se denomina espectro de fase de f\left( t \right).

Si f\left( t \right) es real, las partes real e imaginaria de F\left( \omega \right) son:

R\left( \omega \right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,f\left( t \right)cos\left( \omega t \right)dt X\left( \omega \right)=-\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,f\left( t \right)sen\left( \omega t \right)dt

R\left( \omega \right) y X\left( \omega \right) son funciones par e impar de ω, respectivamente, es decir:

R\left( \omega \right)=R\left( -\omega \right)
X\left( \omega \right)=-X\left( -\omega \right)
\Phi \left( -\omega \right)=-\Phi \left( \omega \right)
F\left( -\omega \right)={{F}^{\text{*}}}\left( \omega \right)

Y {{F}^{\text{*}}}\left( \omega \right) denota el conjugado complejo de F\left( \omega \right).