Desarrollo de una serie compleja de Fourier
Sea:
f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( {{a}_{n}}\left( \frac{{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}+{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}~~}{2} \right)+{{b}_{n}}\left( \frac{{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}-{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}}{2j} \right) \right)
Entonces:
f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( \frac{{{a}_{n}}}{2}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}+\frac{{{a}_{n}}}{2}{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}} \right)+~\left( \frac{{{b}_{n}}}{j2}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}-\frac{{{b}_{n}}}{j2}{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}} \right)
f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( \frac{{{a}_{n}}}{2}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}-\frac{j{{b}_{n}}}{2}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}} \right)+~\left( \frac{{{a}_{n}}}{2}{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}+\frac{j{{b}_{n}}}{2}{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}} \right)
f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}\left( \frac{{{a}_{n}}}{2}-\frac{j{{b}_{n}}}{2} \right)+~{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}\left( \frac{{{a}_{n}}}{2}+\frac{j{{b}_{n}}}{2} \right)
f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{1}{2}\left( {{a}_{n}}-j{{b}_{n}} \right){{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}+~\frac{1}{2}\left( {{a}_{n}}+j{{b}_{n}} \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}
Organizando y definiendo los términos como:
{{C}_{0=~}}\frac{{{a}_{0}}}{2} y {{C}_{n}}=\frac{1}{2}\left( {{a}_{n}}-j{{b}_{n}} \right)~~{{C}_{-n}}=\frac{1}{2}\left( {{a}_{n}}+j{{b}_{n}} \right)
Se tiene:
f\left( t \right)=~{{C}_{0}}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{C}_{n~}}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}+{{C}_{-n}}{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}
f\left( t \right)=~{{C}_{0}}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{C}_{n~}}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}+\underset{n=-1}{\overset{-\infty }{\mathop \sum }}\,{{C}_{n}}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}
Y de esta manera, se obtiene:
f\left( t \right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{C}_{n~}}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}
Se puede observar que la serie compleja es mucho más compacta que la serie trigonométrica y los coeficientes {{C}_{0}} y {{C}_{n~}}se calculan de la siguiente manera:
{{C}_{0}}=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt o \frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt
{{C}_{n}}=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt o \frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt
{{C}_{n}}=\left| {{C}_{n}} \right|{{e}^{j{{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{n/}}}} y {{C}_{-n}}={{C}^{*}}=\left| {{C}_{n}} \right|{{e}^{-j{{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{n}}}}
{{C}_{n}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}
{{\phi }_{n}}=Ta{{n}^{-1}}\left( -\frac{{{b}_{n}}}{{{a}_{n}}} \right)
Para todos los valores n, excepto para n=0. En este caso {{C}_{0}} es real y
{{C}_{0}}=\frac{1}{2}{{a}_{0}}
Ejemplo
Calcule la serie compleja de Fourier si f\left( t \right)=t para -1/textless t/textless 1 en un periodo T=2.
Solución
Para empezar, se debe definir la serie compleja como:
f\left( t \right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{C}_{n~}}{{e}^{jn{{\omega }_{0}}t}}
Y se define el coeficiente:
{{C}_{n}}=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt o \frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,f\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}dt
A partir del cual, se puede definir:
{{C}_{n}}=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\mathop \int }}\,t{{e}^{-jn\pi t}}ddt~
Recuerde que para la solución de la integral:
{{C}_{n}}=\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\mathop \int }}\,t{{e}^{-jn\pi t}}ddt~
En la integral se define: u=t, du=dt, dv={{e}^{-jn\pi t}}dt, v=\frac{-1}{jn\pi }{{e}^{-jn{{\omega }_{0}}t}}.
Integral por partes: u*v-\int v*du
Entonces:
{{C}_{n}}=\frac{1}{2}~\left[ \left. t.\frac{-1}{jn\pi }{{e}^{-jn\pi t}} \right|-\left( \frac{-1}{jn\pi } \right)\underset{-1}{\overset{1}{\mathop \int }}\,~{{e}^{-jn\pi t}}dt~ \right]
Evaluando los parámetros integrales se obtiene:
{{C}_{n}}=\frac{1}{jn\pi }\left( \frac{sen\left( n\pi \right)}{2n\pi }-\text{cos}\left( n\pi \right) \right)
Y entonces, la serie se describe como:
f\left( t \right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{1}{jn\pi }\left( \frac{sen\left( n\pi \right)}{2n\pi }-\text{cos}\left( n\pi \right) \right){{e}^{jn\pi t}}
