Coeficientes de Fourier

Los parámetros senn{{\omega }_{0}}t y cosn{{\omega }_{0}}t se conocen como los armónicos n-ésimos de la función f\left( t \right), mientras que {{a}_{0}}, {{a}_{n}} y {{b}_{n}} se definen como los coeficientes de Fourier.

Los coeficientes de Fourier se calculan por medio de integrales mediante un proceso conocido como el análisis de Fourier. Estos coeficientes se determinan de diferentes maneras, aunque lo importante es tener en cuenta cómo se relaciona el periodo por medio de la función.

Entonces para el coeficiente {{a}_{0}} se tiene:

{{a}_{0}}=\frac{2}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt o {{a}_{0}}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt

Las dos definiciones son válidas, pero en los periodos tomados se diferencian referenciando el primero en \frac{-T}{2} y el segundo desde cero, al evaluar cualquier función su resultado será el mismo.

Para el coeficiente {{a}_{n}} se tiene:

{{a}_{n}}=\frac{2}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)cos~\left( n{{\omega }_{0}}t \right)dt o {{a}_{n}}=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)cos~\left( n{{\omega }_{0}}t \right)dt

Para el coeficiente {{b}_{n}} se tiene:

{{b}_{n}}=\frac{2}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)sen~\left( n{{\omega }_{0}}t \right)dt o {{b}_{n}}=\frac{2}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)sen~\left( n{{\omega }_{0}}t \right)dt

f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,({{a}_{n}}cos\left( n{{\omega }_{0}}t \right)+{{b}_{n}}sen\left( n{{\omega }_{0}}t \right))

Tras evaluar cada uno de los coeficientes se reemplazan en la serie trigonométrica de Fourier y se evalúan de acuerdo con los armónicos.