Series

Con una sucesión de términos: {{z}_{1}},~{{z}_{2}},~{{z}_{3}}\ldots ~{{z}_{n}}, se puede crear una sucesión de sumas de la siguiente forma:

{{s}_{1}}={{z}_{1}} {{s}_{2}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}} {{s}_{3}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \ldots {{s}_{n}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}+\ldots +{{z}_{n}}

Este tipo de sucesiones de sumas son conocidas como series y suelen ser expresadas como:

\underset{m=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{z}_{m}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}+\ldots +{{z}_{n}}

Una serie se denomina convergente si la sucesión de sumas que la compone también converge; es decir, si cumple que:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{s}_{n}}=s

El valor al que converge la serie \left( s \right), se denomina valor de la serie. Si el límite de la serie no existe, se dice que la serie diverge. Para el conjunto de los números complejos, las pruebas de convergencia o divergencia de una serie son similares a las del cálculo real. De hecho si una serie: {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}+\ldots , converge entonces: \underset{m\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{z}_{m}}=0. Si lo anterior no se cumple, se puede afirmar que la serie diverge.

Aunque esta condición es necesaria no es suficiente, pues series como: 1+{}^{1}/{}_{2}+{}^{1}/{}_{3}+{}^{1}/{}_{4}+\ldots la cumplen y sin embargo son divergentes.