Ejemplo de aplicación del teorema de la independencia respecto de la trayectoria

Se conoce que f\left( z \right)=sen~z~es una función analítica en todo el plano complejo, el cual es un dominio simplemente conexo. Debido a lo anterior, la integral de línea de esta función es independiente de la trayectoria; por lo tanto, si se toman dos puntos cualesquiera como 2i y 3+2i se obtiene:

\underset{2i}{\overset{3+2i}{\mathop \int }}\,sen~z~dz =\underset{2i}{\overset{2+2i}{\mathop \int }}\,sen~z~dz+\underset{2+2i}{\overset{3+2i}{\mathop \int }}\,sen~z~dz

Se utilizó la propiedad de linealidad y se dividió la trayectoria inicial en dos trayectorias; sin embargo, haciendo uso del teorema de independencia de trayectoria ambos resultados deben ser iguales:

\left[ -\cos z \right]_{2i}^{3+2i}=\left[ -\cos z \right]_{2i}^{2+2i}+\left[ -\cos z \right]_{2+2i}^{3+2i} -\cos \left( 3+2i \right)+\cos 2i=\left[ -\cos \left( 2+2i \right)+\cos 2i \right]+\left[ -\cos \left( 3+2i \right)+\text{cos}\left( 2+2i \right) \right] 7.48+0.51i=7.48+0.51i