Representación de la curva C

La curva C puede representarse como:

z\left( t \right)=x\left( t \right)+iy\left( t \right) \left( a\le t\le b \right)

Donde t es un parámetro real. Por ejemplo:

z\left( t \right)=t+2it \left( 0\le t\le 2 \right)

Corresponde a la recta y=2x , acotada entre los límites del parámetro t .

La curva C se puede catalogar como suave si su derivada es continua y diferente a cero en cada punto.

{z}'=\frac{dz}{dt}={x}'\left( t \right)+i{y}'\left( t \right)

En el plano complejo, esto significa que la curva C tiene una recta tangente continua en cada uno de los puntos que la conforman, como se deduce de la definición desde el límite y se aprecia en la figura 1.

{z}'=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{z\left( t+\Delta t \right)-z\left( t \right)}{\Delta t}

Figura 1. Representación gráfica de la rectaz'(t) es tangente a un punto de la curva C , dada por z(t).

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En el plano complejo se representan una curva suave C y una función continua f\left( z \right) definida en cada uno de los puntos de C. Por lo tanto, un intervalo del parámetro a\le t\le b se puede dividir nuevamente por los puntos:

{{t}_{0}}\left( =a \right),${{t}_{1}},~\ldots ,~{{t}_{n-1}},{{t}_{n}}\left( =b \right)

Donde los puntos están definidos como {{t}_{0}}<{{t}_{1}}<\ldots <{{t}_{n}} . De esta manera, se hace una subdivisión de la curva C por los puntos:

{{z}_{0}},~{{z}_{1}},~\ldots ,~{{z}_{n-1}},~{{z}_{n}}~\left( =Z \right)

En donde {{z}_{j}}=z\left( {{t}_{j}} \right), como se muestra en la figura 2.

Figura 2. Representación gráfica de la recta z'(t) tangente a un punto de la curva C , dada por z(t).

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