Valores complejos de las funciones trigonométricas

Con el fin de expresar los términos anteriormente expuestos en valores complejos, se define: z=x+yi. Entonces:

cos(z)=\frac { { e }^{ zi }+{ e }^{ -zi } }{ 2 } y sen(z)=\frac { { e }^{ zi }-{ e }^{ -zi } }{ 2i }

Con base en estas ecuaciones, se definen las funciones trigonométricas complejas:

tan\quad z=\frac { sen(z) }{ cos(z) } cot\quad z=\frac { cos(z) }{ sen(z) } sec(z)=\frac { 1 }{ cos(z) } cosc(z)=\frac { 1 }{ sen(z) }

Dado que {{e}^{z}} es entera, las funciones sen z y cos z son enteras; las funciones tan z y sec z son analíticas no enteras, con excepción de los puntos en los que cos z es igual a cero, y las funciones cot z y sec z son analíticas no enteras, con excepción de los puntos en los que sen z es igual a cero.

De igual manera, las derivadas de estas funciones son:

\left( sen(z) \right)'=\cos (z)\left( \cos (z) \right)'=-sen(z) \left( \tan (z) \right)'={{\sec }^{2}}(z)\left( \cot (z) \right)'=-\cos {{c}^{2}}(z)