Ejemplo de aplicación de la función exponencial compleja

Encuentre las soluciones para la ecuación: {{e}^{z}}=4+3i.

Solución

A partir de las propiedades, se sabe que: \left| {{e}^{z}} \right|={{e}^{x}}, por lo tanto la parte real de las soluciones se halla así:

\left| {{e}^{z}} \right|={{e}^{x}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5 \ln \left( {{e}^{x}} \right)=\text{ln}\left( 5 \right) x=1.609

El argumento se expresa como:

\arg {{e}^{z}}={{\tan }^{-1}}\left( \frac{3}{4} \right)=0.643=y

De esta forma se obtiene:

z=1.609+0.643i\pm 2n\pi con n=0,~1,~2,~3\ldots

Debido a la periodicidad de la función compleja se obtienen infinitas soluciones que se encuentran ubicadas en la recta vertical x=1.609 separadas unas de las otras cada 2\pi.