Comprobación de las propiedades

Explorando lo que sucede cuando z=x, en la primera expresión se tiene:

{{e}^{z}}={{e}^{x}}(\cos y+i~sen~y) {{e}^{z}}={{e}^{x}}(\cos 0+~i~sen~0) {{e}^{z}}={{e}^{x}}\left( 1+0 \right) {{e}^{z}}={{e}^{x}}

Comprobando así la segunda propiedad, la primera es fácilmente demostrable mediante el uso de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por último, la tercera propiedad puede ser demostrada de la siguiente manera:

{{\left( {{e}^{z}} \right)}^{'}}={{e}^{x}}(\cos y+~i~sen~y) {{\left( {{e}^{z}} \right)}^{'}}={{\left( {{e}^{x}}~cosy \right)}_{x}}+i{{\left( {{e}^{x}}~sen~y \right)}_{x}}yx

La derivada de y con respecto de x es igual a cero.

{{\left( {{e}^{z}} \right)}^{'}}={{e}^{x}}\cos y+i~{{e}^{x}}~sen~y {{\left( {{e}^{z}} \right)}^{'}}={{e}^{z}}