Ejemplo #6: coeficiente de determinación

Se han diseñado varios tipos de memorias RAM con 5 Mb, 10Mb, 15 Mb y 20 Mb de espacio libre y se desea determinar el impacto sobre las ventas de 12 modelos de sensores que las utilizan. Los datos recolectados son los siguientes:

Memoria RAM para diferentes
modelos de sensores (Mb) X		 Ventas Diarias (USD) Y
5 160
5 220
5 140
10 190
10 240
10 260
15 230
15 270
15 280
20 260
20 290
20 310

Determine el valor del coeficiente de determinación entre las variables.

Solución:

Se deben realizar los cálculos que permiten obtener el coeficiente de determinación, los cuales se muestran a continuación:

Memoria RAM (Mb) X Ventas diarias (USD) Y Ŷ (Ŷ-Y) (Ŷ-Y)2 (Y-Y)2
5 160 182 -55.5 3080.25 6006.25
5 220 182 -55.5 3080.25 306.25
5 140 182 -55.5 3080.25 9506.25
10 190 219 -18.5 342.25 2256.25
10 240 219 -18.5 342.25 6.25
10 260 219 -18.5 342.25 506.25
15 230 256 18.5 342.25 56.25
15 270 256 18.5 342.25 1056.25
15 280 256 18.5 342.25 1806.25
20 260 293 55.5 3080.25 506.25
20 290 293 55.5 3080.25 2756.25
20 310 293 55.5 3080.25 5256.25
\sum X=150 \sum Y=2850 \sum {{(\hat{Y}-\bar{Y})}^{2}}=20535 \sum {{(Y-\bar{Y})}^{2}}=30025

El estudiante puede comprobar que los coeficientes de regresión son:

a=\frac{652500}{4500}=145~USD

b=\frac{33300}{4500}=7.40~USD

La ecuación de la línea de regresión está definida por:

\hat{Y}=145+7.4X

Ahora se procede a calcular el coeficiente de correlación, luego se eleva al cuadrado para encontrar el valor del coeficiente de determinación:

n=12~datos

\sum xy=38400

\bar{y}=\frac{\sum {{y}_{i}}}{n}=\frac{2850}{12}=237.5~USD

\sum {{y}^{2}}=706900

r=\sqrt{\frac{a\sum y+b\sum xy-n{{{\bar{y}}}^{2}}}{\sum {{y}^{2}}-n{{{\bar{y}}}^{2}}}}=\sqrt{\frac{\left( 145 \right)\left( 2850 \right)+7.4\left( 38400 \right)-12{{(237.5)}^{2}}}{706900-12{{(237.5)}^{2}}}}=

\sqrt{\frac{20535}{30025}~}=\sqrt{0.683930058}\cong 0.8270

{{r}^{2}}={{(0.8270)}^{2}}=683929\cong 0.6839=68.39%

Otra forma de calcular el coeficiente de determinación es a través de las variaciones:


Las variaciones de la memoria RAM explican el 68.39% de la variación en las ventas de los diferentes modelos de sensores.